Gegeben sei die Funktion f mit
f(x) = e^{A x + B}.
Bestimmen Sie das dritte Taylor-Polynom an der Stelle x_0 = X0.
\displaystyle \color{teal}T_3 (x)
=
A0 + " + " + A1 + " (x- " + X0 + ") + " + fractionReduce(A2,2) + " (x- " + X0 + ")^2 + " + fractionReduce(A3,6) + " (x- " + X0 + ")^3"
Wir suchen \displaystyle \color{teal}T_3 (x) =
f \left(X0 \right) + f'\left(X0\right )\left(x- X0\right )
+ \frac 12 f''\left(X0\right )\left(x- X0\right )^2 + \frac 16 f'''\left(X0\right )\left(x- X0\right )^3.
Es ist \displaystyle f\left(X0\right ) = 1, und wir rechnen die drei fehlenden Werte \displaystyle f'\left(X0\right ),
\displaystyle f''\left(X0\right )und \displaystyle f'''\left(X0\right ) aus:
Es sind \displaystyle f'(x) = A f(x), \displaystyle f''(x) = A*A f(x) und
\displaystyle f'''(x) = A*A*A f(x).
Eingesetzt erhalten wir \displaystyle f'\left(X0\right ) = A1, f''\left(X0\right ) = A2
und \displaystyle f'''\left(X0\right ) = A3.
Eingesetzt also
\displaystyle T_3(x) = A0+ A1 \left(x- X0\right ) +
fractionReduce(A2,2) \left(x- X0\right ) ^2 +
fractionReduce(A3,6) \left(x- X0\right ) ^3 .