Gegeben sei die Funktion f mit
f(x) = x^3 + {\color{red}B} x^2 + D.
Wenn der Graph von f an der Stelle
{\color{green}x_0 = A} einen Wendepunkt hat,
welchen Wert hat dann der Koeffizient \color{red}B ?
Für einen Wendepunkt muss die 2. Ableitung an der Stelle Null sein.
Es sind f'(x) = 3 x^2+ 2 {\color{red}B} x und
f''(x) = 6 x+ 2 \color{red}B
.
Nullsetzen ergibt f''(x_0) = 6 x_0+ 2 {\color{red}B} = 0.
Einsetzen von {\color{green}x_0 = A} liefert
\color{red}B:
6 * A+ 2 {\color{red}B} = 0
\Rightarrow {\color{red}B} = - 3* A .
Es ist bei x_0 = A tatsächlich eine
Wendestelle,
da
f''(x) = 6 x + - 6* A > 0
für x >A
und
f''(x) = 6 x + - 6* A < 0
für x < A.