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Allgemeine Lösung
dgl-01-02
multiple
100
randRange(2,12) randRange(2,12)

Gegeben sei die Differentialgleichung y'(t) = A\cdot y(t) +B.

Bestimmen Sie {\color{red}a} und {\color{blue}b}, sodass für alle reellen Zahlen C die Funktion y mit y(t) = C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b} diese Differentialgleichung erfüllt.

a \color{red}a = A
c \color{blue}b = -B/A

Setze die Funktion y(t) = C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b} in die Diferentialgleichung y'(t) = A\cdot y(t) +B ein.

Es y'(t) = \left (C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b}\right)' = {\color{red}a} \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t}.

Damit folgt {\color{red}a} \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} = A\cdot \left(C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} + {\color{blue}b} \right) +B = A \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} +\left( A {\color{blue}b}+ B \right) .

Da die Gleichung für alle reellen Zahlen C erfüllt sein soll, gilt dies auch für C = 0.

Wir lösen A {\color{blue}b}+ B=0 nach {\color{blue}b} auf.

Das liefert {\color{blue}b} = \dfrac{-B}{A} = fractionReduce(-B,A).

Setze {\color{blue}b} in {\color{red}a} \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} = A \cdot C \cdot e^{{\color{red}a} \cdot t} +\left( A {\color{blue}b}+ B \right) mit t = 0 ein.

Das ergibt {\color{red}a} \cdot C \cdot 1 = A \cdot C \cdot 1+\left( A {\color{blue}b}+ B \right) = A \cdot C +0 und schlussendlich {\color{red}a} = A .