Gegeben sei die Differentialgleichung y'(t) =
C\cdot t + A\cdot y(t) +B.
Diese hat eine Lösung der Form
y(t) = {\color{red}a} \cdot t + {\color{blue}b}.
Bestimmen Sie {\color{red}a} und {\color{blue}b}.
\color{red}a
=
P
\color{blue}b
=
Q
Setze die Funktion
y(t) = {\color{red}a} \cdot t + {\color{blue}b}
in die Differentialgleichung
y'(t) =
C\cdot t + A\cdot y(t) +B ein.
Es ist
y'(t) = \left({\color{red}a} \cdot t + {\color{blue}b}\right)' =
{\color{red}a} =
C\cdot t + A\cdot
({\color{red}a} \cdot t + {\color{blue}b})
+B.
Um linke und rechte Seite zu vergleichen, sortieren wir die rechte Seite und erhalten
0 \cdot t + {\color{red}a} =
(A {\color{red}a} + C) \cdot t
+ (A {\color{blue}b} +B)
.
Damit dies erfüllt für alle t ist,
müssen für die Koeffizienten zwei Gleichungen erfüllt sein:
0 = A {\color{red}a}+ C
und {\color{red}a} = A {\color{blue}b} +B.
Wir erhalten {\color{red}a} = P
und {\color{blue}b} = Q.