Sei f die Lösung des AWP
y'(x) = (V x + W) \left(A y(x) +
B\right)^{\frac{N}{M}} mit
f(0) = Y0.
Bestimmen Sie den Wert f(X1).
f(X1)
=
Snum
Wir suchen zunächst die Funktion f mit der Trennung der Variablen.
Wir stellen die DGL um y'(x) = \dfrac{dy}{dx} =
(V x + W) \left(A y(x) + B\right)^{ K}\implies
\left(A y(x) + B\right)^{-K} \ dy = (V x + W) \ dx.
Jetzt suchen wir Stammfunktionen \displaystyle
\int \left(A y(x) + B\right)^{-K} \ dy = \int (V x + W) \ dx =
fractionReduce(V,2)x^2 + W x + C.
Für die linke Seite \displaystyle
\int \left(A y(x) + B\right)^{-K} \ dy
ergibt sich zum Beispiel mit Substitution als eine Stammfunktion \displaystyle
fractionReduce(M, A) (A y(x) + B)^{KK}.
Nach Gleichsetzen \displaystyle
fractionReduce(M, A) (A y(x) + B)^{KK} = fractionReduce(V,2)x^2 + W x + C
bestimmen wir zunächst die Konstante C=0, indem wir x = 0 und f(0) = Y0 ausnutzen.
Bleibt noch, die Gleichung nach y(x) aufzulösen:
\displaystyle
fractionReduce(M, A) (A y(x) + B)^{KK} = fractionReduce(V,2)x^2 + W x \implies
(A y(x) + B)^{KK} = fractionReduce(A*V,2*M)x^2 + fractionReduce(W*A,M) x
\implies
y(x) =
\frac 1{A}\left(fractionReduce(A*V,2*M)x^2 +
fractionReduce(W*A,M) x \right)^{M} - fractionReduce(B,A).
In diese Funktion setzen wir dann X1 ein und erhalten als Lösung f(X1) = S.