Bestimmen Sie die Lösung die allgemeine Lösung der DGL
y'(x) = \dfrac{x}{\sqrt{B + x^2}}(y(x) + A)^2 und für
den Anfangswert y(0) = 0 die Konstante \color{red}C.
y(x)
=
- \frac{1}{\sqrt{B + x^2} +C} - A
\color{red}C
=
-sqrt(B) - 1/A
Wir suchen die allgemeine Lösung mit der Trennung der Variablen.
Wir stellen die DGL um: y'(x) = \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{\sqrt{B + x^2}}(y(x) + A)^2
\implies \dfrac{1}{(y(x) + A)^2} \ dy = \dfrac{x}{\sqrt{B + x^2}} \ dx.
Jetzt suchen wir Stammfunktionen \displaystyle
\int\dfrac{1}{(y(x) + A)^2} \ dy
= - \dfrac{1}{(y(x) + A)} = \int \dfrac{x}{\sqrt{B + x^2}} \ dx
= \sqrt{B + x^2} + C.
Dabei haben wir rechts zum Beispiel Substitution verwendet.
Bleibt noch, die Gleichung nach y(x) aufzulösen:
Mit Kehrwert und Subtraktion folgt \displaystyle
y(x) =- \dfrac{1}{\sqrt{B + x^2} +{\color{red}C}} - A.
Für die Konstante C setzen wir x=0 ein und erhalten
mit y(0) = 0:
\displaystyle
y(0) = 0 = - \dfrac{1}{\sqrt{B} +C} - A \implies {\color{red} C = - \sqrt{B} -
\frac{1}{A}} =
-sqrt(B)-1/A (oder ungefähr . . . .)