Gegeben sei unten das Richtungsfeld einer DGL
y' = F(y) mit drei stationären Lösungen.
Welches Konvergenzverhalten zeigt die Lösung \color{orange}y
mit \color{orange}y(X) = Y?
\lim\limits_{t \to + \infty} = + \infty
\lim\limits_{t \to + \infty} = - \infty
\lim\limits_{t \to + \infty} = A
\lim\limits_{t \to + \infty} = C
\lim\limits_{t \to + \infty} = B
\lim\limits_{t \to + \infty} = - \infty\lim\limits_{t \to + \infty} = A\lim\limits_{t \to + \infty} = B\lim\limits_{t \to + \infty} = C\lim\limits_{t \to + \infty} = + \infty\lim\limits_{t \to + \infty} = A\lim\limits_{t \to + \infty} = B\lim\limits_{t \to + \infty} = C\lim\limits_{t \to + \infty} = - \infty\lim\limits_{t \to + \infty} = + \infty\lim\limits_{t \to + \infty} = B\lim\limits_{t \to + \infty} = C\lim\limits_{t \to + \infty} = - \infty\lim\limits_{t \to + \infty} = + \infty\lim\limits_{t \to + \infty} = A\lim\limits_{t \to + \infty} = B\lim\limits_{t \to + \infty} = - \infty\lim\limits_{t \to + \infty} = + \infty\lim\limits_{t \to + \infty} = A\lim\limits_{t \to + \infty} = C
Das Richtungsfeld zeigt an einer Stelle (x_0,y_0) ein kleines Tangentenstück
einer Lösung der DGL, auf der (x_0,y_0) = (X, Y) liegt.
Wir erkennen die drei stationären Lösungen y_{\infty, 1}=C,
y_{\infty, 2}=A, y_{\infty, 3}=B.
Diese sind mögliche Kandidaten für den Grenzwert \lim\limits_{t \to + \infty}.
Hier ist {\color{teal}y(X) = Y} > B und alle Tangentenstücke haben eine positive Steigung; daher
\lim\limits_{t \to + \infty} = + \infty.
Hier ist {\color{teal}y(X) = Y} < C und alle Tangentenstücke haben eine negative Steigung; daher
\lim\limits_{t \to + \infty} = + \infty.
Hier ist der Punkt im Streifen
C < {\color{teal}y(X) = Y} < B.
Die Tangentenstücke haben eine negative Steigung für
{\color{teal}y(t)} > A und eine positve Steigung für
{\color{teal}y(t)} < A .
Daher zieht
y_{\infty, 2}=A die Lösung an und
\lim\limits_{t \to + \infty} = A.
Die Tangentenstücke haben eine positive Steigung für
{\color{teal}y(t)} > A und eine negative Steigung für
{\color{teal}y(t)} < A .
Daher stösst
y_{\infty, 2}=A die Lösung ab und kommt als Grenzwert nicht infrage.
Die Tangentenstücke haben eine negative Steigung für
{\color{teal}y(t)} > B und eine positive Steigung für
{\color{teal}y(t)} < B .
Daher zieht
y_{\infty, 1}=B die Lösung an und
\lim\limits_{t \to + \infty} = B.
Die Tangentenstücke haben eine negative Steigung für
{\color{teal}y(t)} > C und eine positive Steigung für
{\color{teal}y(t)} < C .
Daher zieht
y_{\infty, 3}=C die Lösung an und
\lim\limits_{t \to + \infty} = C.