Der Graph einer Exponentialfunktion f verläuft durch
die Punkte P=(X_P,Y_P) und
Q=(X_Q, Y_Q) .
Bestimmen Sie {\color{blue}c} und
{\color{red}a} so, dass
f(x)={\color{blue}c} \cdot {\color{red}a}^x
für alle x gilt.
\color{blue}c =
C
{\color{red}a} =
A
Da die Punkte P = (x_P, y_P) und
Q = (x_Q, y_Q) auf dem Graphen
einer Exponentialfunktion f liegen, müssen sie die
Funktionsgleichungen
y_P = f(x_P)={\color{blue}c}\cdot {\color{red}a}^{x_P} und
y_Q = f(x_Q)=\color{blue}c\cdot {\color{red}a}^{x_Q}
erfüllen.
Durch Einsetzen von
P=(X_P, Y_P) erhalten
wir
\text{I:} \quad f(X_P) ={\color{blue}c} \cdot
{\color{red}a}^{X_P}=Y_P.
Durch Einsetzen von
Q=(X_Q, Y_Q) erhalten
wir
\text{II:} \quad f(X_Q) ={\color{blue}c} \cdot
{\color{red}a}^{X_Q}=Y_Q.
Diese beiden Gleichungen:
\displaystyle
\begin{aligned} \text{I:} & & {\color{blue}c} \cdot
{\color{red}a}^{X_P} \,& = &
Y_P \\
\text{II:} & & {\color{blue}c} \cdot
{\color{red}a}^{X_Q} & = & Y_Q
\end{aligned}
liefern uns dann {\color{red}a} und
{\color{blue}c}.
Dieses Gleichungssystem lösen wir zum Beispiel mit dem Einsetzungsverfahren (Substitutionsverfahren):
Lösen Sie die Gleichung \text{I} nach {\color{blue}c}
auf.
\displaystyle
\begin{aligned}
\text{I:} \quad {\color{blue}c} \cdot {\color{red}a}^{X_P}
= & Y_P \\
\phantom{\text{I:} \quad} {\color{blue}c} = &
\frac{Y_P}{{\color{red}a}^{X_P}}.
\end{aligned}
Nun wird {\color{blue}c} in Gleichung
\text{II}
eingesetzt und dann nach {\color{red}a} umgeformt.
\displaystyle
\begin{aligned}
\text{II:} \quad &{\color{blue}c} \cdot
{\color{red}a}^{X_Q} &= & &Y_Q \\
\phantom{\text{II:}
\quad} &\frac{Y_P}{ {\color{red}a}^{X_P}}
\cdot
{\color{red}a}^{X_Q} &=& & Y_Q \\
\phantom{\text{II:} \quad} &Y_P\cdot
{\color{red}a}^{X_Q-X_P} &= && Y_Q \\
\phantom{\text{II:} \quad} &{\color{red}a}^{X_Q-X_P} &=
& &
fractionReduce(Y_Q,Y_P) \\
\phantom{\text{II:} \quad} &{\color{red}a} & =& &
A.
\end{aligned}
Zuletzt kann mit diesem {\color{red}a} = A
auch {\color{blue}c} berechnet werden:
\displaystyle
{\color{blue}c}=
\frac{Y_P}{{\color{red}a}^{X_P}}=
\frac{Y_P}{A^{X_P}}=C.
Daher sind {\color{blue}c}=C und
{\color{red}a}=A .