{\color{blue}\widetilde x_{1}} =
Bestimmen Sie die Fixpunkte der Funktion f mit
f(x) = Cx^3 - (A+B)*C x^2 + A*B*C+1x.
{\color{blue}\widetilde x_{1}} =
{\color{red}\widetilde x_{2}} =
{\color{black}\widetilde x_{3}} =
Für einen Fixpunkt \widetilde x gilt
f (\widetilde x) = \widetilde x.
Das heisst hier, die Lösungen der Gleichung
f(\widetilde x) =
C\widetilde x^3 - (A+B)*C \widetilde x^2 + A*B*C +1 \widetilde x =
\widetilde x zu finden.
Diese vereinfacht sich zu C\widetilde x (\widetilde x^2 - (A+B) \widetilde x +
A*B) = 0. Damit ist \widetilde x = 0 ein Fixpunkt.
Die beiden weiteren Fixpunkte \neq 0
sind die Nullstellen der Klammer.
Die Lösungen der quadratischen Gleichung q(x) = x^2 +-A-B x
+A*B = 0 finden wir dann direkt mit Vieta:
Für x^2 +-A-B x
+A*B = (x - {\color{blue}x_1}) (x - {\color{red}x_2})
gelten {\color{blue}x_1} + {\color{red}x_2} = {\color{orange}A+B} und
{\color{blue}x_1} \cdot {\color{red}x_2} = {\color{teal}A*B}.
Damit haben wir
{\color{blue}\widetilde x_1} = A und
{\color{red}\widetilde x_2} = B.