Bestimmen Sie \displaystyle \int f[4] \; dx.
Verwenden Sie C als Integrationskonstante.
Bei der partiellen Integration verwenden wir, dass gilt
\displaystyle
\int f(x)g'(x) \; dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)\; dx + C.
Eine geeignete Wahl von f und g soll dazu
führen, dass eine Stammfunktion von f'(x)g(x) einfacher
zu finden ist als eine von f(x)g'(x).
Hier eignen sich
\displaystyle f(x) = f[0] und
\displaystyle g'(x) = f[3].
Mit
\displaystyle f'(x) = f[2] und
\displaystyle \color{blue}{g(x) = f[1]}, ist
dann
\displaystyle f'(x){\color{blue}g(x)} =
f[2] \cdot \left(f[1] \right)
= f[5] .
(Hier ist für \displaystyle \int g'(x) dx = g(x)
die Integrationskonstante
C=0.)
Verifizieren Sie
\displaystyle \int f[5] \; dx =
f[7] + C
mit einer weiteren Partiellen Integration.
Es ist
\displaystyle f(x){\color{blue}g(x)} =
f[0] \cdot \left(
{\color{blue}f[1]} \right).
Damit zusammen
\displaystyle \int f[4] \; dx = f[6] +
C.