Berechnen Sie
\displaystyle \int f(x) \ dx = \int \frac{V x + W}
{(Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F)} \ dx.
Verwenden Sie C als Integrationskonstante.
\displaystyle \int f(x) \ dx
=
SOL
Um eine Partialbruchzerlegung (PBZ) anzuwenden, faktorisieren wir den Nenner
(Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F)
vollständig.
Es ist (Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F) =
C*F(x- D) (x - A) (x - B)
.
Damit ergibt sich der PBZ-Ansatz
\displaystyle \frac{A_1}{x- D} + \frac{A_2}{x- A} + \frac{A_3}{x- B},
wobei wir die Konstante \displaystyle {\color{orange}\frac 1{C*F}} weglassen - aber im Hinterkopf behalten.
Zusammenfassen des Ansatzes ergibt
\displaystyle \frac{A_1}{x- D} + \frac{A_2}{x- A} + \frac{A_3}{x- B} =
\frac{\color{red}A_1 (x- A) (x- B) + A_2 (x- D)(x- B) + A_3 (x- D)(x- A)}
{(x- D) (x - A) (x - B)}.
Der Vergleich des Zählers von f(x) und in der PBZ liefert die Gleichung
\displaystyle V x + W
={\color{red}A_1 (x- A) (x- B) + A_2 (x- D)(x- B) + A_3 (x- D)(x- A)}.
Um die Zahlen A_1, A_2 und A_3 zu finden, setzen wir auf beiden Seiten der Gleichung
für x nacheinander die Nullstellen des Nenners
D, A und B ein.
Für x = D ist \color{blue}A_1 = A1,
für x = A ist \color{teal}A_2 = A2
und für x = B ist \color{purple}A_3 = A3.
Diese Berechnungen führen auf
\displaystyle \int \frac{V x + W}
{(Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F)} \ dx =
{\color{orange}\frac 1{C*F}} \int { \color{blue} \left(A1\right)} \cdot \frac{1}{x- D} +
{\color{teal}\left(A2\right)} \cdot \frac{1}{x- A} +
{\color{purple} \left(A3\right)} \cdot \frac{1}{x- B} \ dx.
Mit \displaystyle \int \frac1 {x+a} = \ln |x+a| +C und den Rechenregeln folgt
\displaystyle \int \frac{V x + W}
{(Cx- D*C) (Fx^2 - (A+B)*F x + A*B*F)} \ dx =
AA1\cdot \ln | x- D| +
AA2 \cdot \ln | x- A| +
AA3 \cdot \ln | x- B| + C.