Ein Mensch, der zu keinem Zeitpunkt in seinem Leben
geraucht hat, erkrankt mit einer Wahrscheinlichkeit
von ca. 1\% an Lungenkrebs.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein/e Raucher/in, die/der
über Jahre hinweg 20 Zigaretten oder
mehr pro Tag geraucht hat, an Lungenkrebs erkrankt,
nimmt nach dem Aufhören des Rauchens mit der Zeit
kontinuierlich ab.
Sei
f(t) die Wahrscheinlichkeit in %, dass ein/e
ehemalige/r Raucher/in nach t Jahren des
Rauchverzichts an Lungenkrebs erkrankt.
Wir nehmen dabei ungefähr folgende
Entwicklung an
\displaystyle f(t) = 40 \cdot
e^{-\frac{16}{100}t}.
Anschaulich bedeutet das: In einer Gruppe von jeweils 100 Nichtrauchern und 100 Rauchern des obigen Typs erkranken im Schnitt 1 von 100 Nichtrauchern und 40 von 100 Rauchern an Lungenkrebs.
Wie viele Jahre muss ein/e (ehemalige) Raucher/in
mindestens warten, bis ihr/sein Risiko einer
Lungenkrebserkrankung unter
p\% liegt ?
Rechnen Sie mit allfälligen genauen Zwischenergebnissen und runden Sie das Endresultat auf ganze Jahre.
{\color{red}t_{R}}
=
sol
Wir müssen {\color{red}t_R} so
bestimmen, dass
f({\color{red}t_R}) = p
gilt.
Wir rechnen
\displaystyle f({\color{red}t_R}) = 40 \cdot
e^{-\frac{16}{100}{\color{red}t_R}}=
p
\Rightarrow
-\frac{16}{100}{\color{red}t_R}
= \ln\left(\frac{p}{40}\right)
= \ln\left(p\right) -
\ln\left(40\right).
Das ergibt weiter (Cave! Vorzeichen)
{\color{red}t_R}
= \dfrac{100}{16} \cdot
\left(
\ln\left(40\right)- \ln\left(p\right)
\right)
\approxsol.
Ein/e ehemalige/r Raucher/in muss also
ca. sol Jahre warten,
bis ihr/sein Risiko unter
p\% gesunken ist.