de-CH
utf-8
math math-format polynomials
Rauchen 1
e-03-06a
multiple
10
randRange(1,10) round((log(40)-log(p))*100/16)

Ein Mensch, der zu keinem Zeitpunkt in seinem Leben geraucht hat, erkrankt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 1\% an Lungenkrebs.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein/e Raucher/in, die/der über Jahre hinweg 20 Zigaretten oder mehr pro Tag geraucht hat, an Lungenkrebs erkrankt, nimmt nach dem Aufhören des Rauchens mit der Zeit kontinuierlich ab.

Sei f(t) die Wahrscheinlichkeit in %, dass ein/e ehemalige/r Raucher/in nach t Jahren des Rauchverzichts an Lungenkrebs erkrankt. Wir nehmen dabei ungefähr folgende Entwicklung an

\displaystyle f(t) = 40 \cdot e^{-\frac{16}{100}t}.

Anschaulich bedeutet das: In einer Gruppe von jeweils 100 Nichtrauchern und 100 Rauchern des obigen Typs erkranken im Schnitt 1 von 100 Nichtrauchern und 40 von 100 Rauchern an Lungenkrebs.

Wie viele Jahre muss ein/e (ehemalige) Raucher/in mindestens warten, bis ihr/sein Risiko einer Lungenkrebserkrankung unter p\% liegt ?

Rechnen Sie mit allfälligen genauen Zwischenergebnissen und runden Sie das Endresultat auf ganze Jahre.

f {\color{red}t_{R}} = sol

Wir müssen {\color{red}t_R} so bestimmen, dass f({\color{red}t_R}) = p gilt.

Wir rechnen

\displaystyle f({\color{red}t_R}) = 40 \cdot e^{-\frac{16}{100}{\color{red}t_R}}= p \Rightarrow -\frac{16}{100}{\color{red}t_R} = \ln\left(\frac{p}{40}\right) = \ln\left(p\right) - \ln\left(40\right).

Das ergibt weiter (Cave! Vorzeichen)

{\color{red}t_R} = \dfrac{100}{16} \cdot \left( \ln\left(40\right)- \ln\left(p\right) \right) \approxsol.

Ein/e ehemalige/r Raucher/in muss also ca. sol Jahre warten, bis ihr/sein Risiko unter p\% gesunken ist.