de-CH
utf-8
math math-format polynomials
Rauchen 2
e-03-06b
number
40
randRange(5,15) randRangeExclude(2,10,[3,6,7,9]) round((log(q))*100/16)

Ein Mensch, der zu keinem Zeitpunkt in seinem Leben geraucht hat, erkrankt mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. 1\% an Lungenkrebs.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein/e Raucher/in, die/der über Jahre hinweg 20 Zigaretten oder mehr pro Tag geraucht hat, an Lungenkrebs erkrankt, nimmt nach dem Aufhören des Rauchens mit der Zeit kontinuierlich ab.

Sei f(t) die Wahrscheinlichkeit in %, dass ein/e ehemalige/r Raucher/in nach t Jahren des Rauchverzichts an Lungenkrebs erkrankt. Wir nehmen dabei ungefähr folgende Entwicklung an

\displaystyle f(t) = 40 \cdot e^{-\frac{16}{100}t}.

Anschaulich bedeutet das: In einer Gruppe von jeweils 100 Nichtrauchern und 100 Rauchern des obigen Typs erkranken im Schnitt 1 von 100 Nichtrauchern und 40 von 100 Rauchern an Lungenkrebs.

Angenommen, dass ein/e (ehemalige) Raucher/in in den letzten p Jahren nicht geraucht hat:

Wie viele Jahre muss sie/er dann weiter warten, bis ihr/sein Risiko einer Lungenkrebserkrankung nochmals nur ein \dfrac 1{q} des jetzigen Risikos beträgt ?

Rechnen Sie mit allfälligen genauen Zwischenergebnissen und runden Sie das Endresultat auf ganze Jahre.

sol

Seien {\color{blue}t_{no}} die Jahre des Nichtrauchens. Dann suchen wir {\color{red}t_H} mit

\displaystyle \frac{f({\color{blue}t_{no}})}{q} = f({\color{red}t_H}).

Wir setzen ein und erhalten

\displaystyle \frac{ 40 \cdot e^{-\frac{16}{100}{\color{blue}t_{no}}}} {q}= 40 \cdot e^{-\frac{16}{100}{\color{red}t_H}}.

Dies vereinfacht sich (mit Potenzgesetzen und dem richtigen Vorzeichen) zu

\displaystyle e^{\frac{16}{100}{\color{red}t_H}} \cdot e^{-\frac{16}{100}{\color{blue}t_{no}}} = e^{\frac{16}{100}({\color{red}t_H}-{\color{blue}t_{no}})} = q.

Die Differenz {\color{red}t_H}-{\color{blue}t_{no}} gibt nun die gesuchte Zahl an Jahren, und wir rechnen

\displaystyle \ln \left( e^{\frac{16}{100}({\color{red}t_H} -{\color{blue}t_{no}})} \right) = \frac{16}{100}({\color{red}t_H}-{\color{blue}t_{no}}) = \ln (q).

Somit erhalten wir

\displaystyle {\color{red}t_H}-{\color{blue}t_{no}} =\frac{100}{16}\ln (q) \approx sol.