de-CH
utf-8
math math-format graphie polynomials
Halb-Logarithmische Darstellung
l-08-02
number
480
randRange(2,6) 0.5 * randRange(1,4) randRange(1,3) 0.25 * randRange(1,8) fractionReduce(4 * x0 ,4) function( x ) {return m*x+n}

Beim Zeichnen des Graphen einer Funktion {\color{blue}f} hat jemand so an der y-Achse gezogen, dass die Gerade {\color{purple}g} unten entstanden ist :

graphInit({ range: [[-1, 5],[-3, F(4) + 1]], scale: [20,20], gridStep: [ 1 , 1 ], tickStep: [ 1 , 2 ], labelStep: [ 1 , F(4) + 2], gridOpacity: 0.1, axisOpacity: 0.8, tickOpacity: 0.6, labelOpacity: 0.8 }); unityLabels: true, label( [ 5, 0 ], "x", "right" ); label( [ -0.5, F(0) ], "\\color{red}{\\log_{b}(F(0))}", "left" ); label( [ -0.5, F(2) ], "\\log_{b}(F(2))", "left" ); label( [ -0.5, F(4) ], "\\log_{b}(F(4))", "left" ); style( { stroke: "blue" , strokeWidth: 2, }, function() {plot( F, [ -0.5, 5 ] ); } );


Bestimmen Sie

{\color{red}b}^{{\color{blue} f}({\color{orange}a}) } mit {\color{orange}a =redx0}.

F(x0)

Um den Wert {\color{blue}f} ({\color{orange}a}) = {\color{blue}f} \left({\color{orange}redx0} \right) zu bestimmen, benötigen wir die Gleichung der Geraden {\color{purple}g} mit {\color{purple}g(x)}=m \cdot x + b , wobei auf der y-Achse die gleichen Abstände wie auf der x-Achse gegeben sind.

graphInit({ range: [[-1, 5],[-3, F(4) + 1]], scale: [20,20], gridStep: [ 1 , 1 ], tickStep: [ 1 , 2 ], labelStep: [ 1 , 1], gridOpacity: 0.1, axisOpacity: 0.8, tickOpacity: 0.6, labelOpacity: 0.8 }); unityLabels: true, style( { stroke: "purple" , strokeWidth: 2, }, function() {plot( F, [ -0.5, 5 ] ); } );


Damit gelten dann {\color{blue}f(x)} = {\color{red}\log_{b}} ({\color{purple}g(x)}) und {\color{red}b}^{{\color{blue} f}({\color{orange}a}) } = {\color{red}b}^{ {\color{red}\log_{b}} ({\color{purple}g( {\color{orange}a})})} = {\color{purple}g({\color{orange}a})}.

Wir lesen g(0)=m \cdot 0 + b = b = F(0) ab.

Mit den Punkten (0,{\color{purple}g(0)}) und (4,{\color{purple}g(4)}) erhalten wir die Steigung

\displaystyle m = \frac{{\color{purple}g(4)} - {\color{purple}g(0)}}{4-0} = \frac{F(4) - F(0)}{4} = fractionReduce(F(4) - F(0),4).

Zusammen ist {\color{blue}f(x)} = {\color{red}\log_{b}} ({\color{purple}g(x)}) mit {\color{purple}g(x)} = fractionReduce(F(4) - F(0),4) \cdot x + n .

Und das gesuchte {\color{red}b}^{{\color{blue} f}({\color{orange}a}) } ist gleich

{\color{red}b}^{{\color{blue} f}({\color{orange}a}) } = {\color{purple}g({\color{orange}a})} = {\color{purple}g}\left( {\color{orange}redx0} \right) = fractionReduce(F(4) - F(0),4) \cdot {\color{orange}redx0} + n = fractionReduce( 4 * (m * x0 + n) ,4).