Gegeben sei die Matrix
A=
\begin{pmatrix} A & B \\
C & D \end{pmatrix}
.
Bestimmen Sie die Einträge \color{blue}a, b, c,d , sodass
A^{-1} = \begin{pmatrix}
\color{blue}{a} & \color{blue}{b} \\ \color{blue}{c} & \color{blue}{d} \end{pmatrix}
gilt.
\color{blue}a
=
D/det
\color{blue}b
=
-B/det
\color{blue}c
=
-C/det
\color{blue}d
=
A
Ein Weg ist mit der Determinante: Diese ist \det(A) = det und mit der Formel dann
A^{-1}=
\dfrac 1{det}\begin{pmatrix} D & -B \\
-C & A \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} fractionReduce(D,det) & fractionReduce(-B,det) \\
fractionReduce(-C,det) & fractionReduce(A,det)\end{pmatrix}.
Ohne Determinante rechne:
\begin{pmatrix} A & B \\
C & D \end{pmatrix} \cdot
\begin{pmatrix} \color{blue}{a} & \color{blue}{b} \\ \color{blue}{c} & \color{blue}{d} \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 1 & 0\\
0 & 1\end{pmatrix} und löse das 4 \times 4 lineare Gleichungssystem.