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Differentialgleichungen 2. Ordnung
dgl-04-01
multiple
540
randRange(2, 12) randRangeExclude(2, 12,[L1]) L1+L2 L1*L2 randRange(1,5)

Gegeben sei die Diferentialgleichung y''(t) - T\cdot y'(t) +D\cdot y(t) = 0

mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y'(0) =L2 - L1.

Bestimmen Sie für die Lösung dieses AWP y den Wert

l \color{orange}\ln \left(- \dfrac{y(K)}{y(-K)}\right) = K*(L1+L2)

Mit der Charakteristischen Gleichung \lambda^2 - T\cdot \lambda +D = 0 finden wir die Allgemeine Lösung der DGL.

Die beiden Nullstellen der Quadratischen Gleichung sind \lambda_1 = L1 und \lambda_2 = L2.

Damit ist Allgemeine Lösung y(t) = {\color{blue}C_1} \cdot e^{L1 \cdot t} + {\color{blue}C_2} \cdot e^{L2 \cdot t}.

Die Konstanten {\color{blue}C_1} und {\color{blue}C_2} bestimmen wir mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y'(0) =L2 - L1.

Mit y(0) = 0 folgen C_1 + C_2 = 0 und \color{teal}C_1 = - C_2.

Mit y'(0) =L2 - L1 folgt zunächst \color{purple}L1 \cdot C_1 + L2 \cdot C_2 = L2 - L1.

Einsetzen von \color{teal}C_1 = - C_2 in \color{purple}L1 \cdot C_1 + L2 \cdot C_2 = L2 - L1 liefert \color{blue}C_2 = 1 und damit \color{blue}C_1= -1.

Die spezielle Lösung ist y(t) = e^{L2 \cdot t} - e^{L1 \cdot t} mit den Werten y(K) = e^{L2 \cdot K} - e^{L1 \cdot K} = e^{L2*K} - e^{L1*K} und

y(-K) = e^{L2 \cdot negParens(-K)} - e^{L1 \cdot negParens(-K)} = e^{-L2*K} - e^{-L1*K} = \dfrac{e^{L1*K} - e^{L2*K}}{e^{L1*K + L2*K}}.

Gesucht ist zunächst - \dfrac{y(K)}{y(-K)} =- \left(-e^{L1*K + L2*K} \right) = e^{L1*K + L2*K} = e^{(L1+L2)*K}

und damit \color{orange}\ln \left(- \dfrac{y(K)}{y(-K)}\right) = K*(L1+L2).