Gegeben seien die Funktion f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = A x^3 + B y+ Cx + D y^2 + E und
P = (x_0,y_0)= (X,Y).
Bestimmen Sie die Zahlen {\color{blue} a}, {\color{teal} b} und {\color{red} c}, sodass
\ell (x,y) = {\color{blue} a} x + {\color{teal} b} y + {\color{red} c}
die Tangentialebene an f in
(X,Y, f( X,Y)) beschreibt.
{\color{blue} a} =
{\color{teal} b}=
{\color{red} c} =
Falls die Tangentialebene in einem Punkt (x_0,y_0) existiert, ist dies der Graph der Funktion \ell (x,y) mit
\ell (x,y) = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0) (x-x_0) + f_y(x_0,y_0) (y-y_0).
Damit ist schon {\color{red}c = f(X,Y) = E}.
Wir rechnen für die anderen Zahlen f_x(x,y)= 3*A x^2 + C und
f_y(x,y)= B + 2*D y.
Der Punkt P = (x_0,y_0)= (X,Y) eingesetzt liefert die Werte
f_x(X,Y)= C und
f_y(X,Y)= B.
Damit ergibt sich zusammen
\ell (x,y) = E + C x + D y
also {\color{blue} a =C} und \color{teal} b = B.