Das LGS
\begin{array}{rrr} A x + B y + C z & = & M \\
D y + E z & = & N \\
F z & = & L
\end{array}
hat eine eindeutige Lösung
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
{\color{blue}Y} \\ Z \end{pmatrix}.
Bestimmen Sie die Einträge
\color{red} X
=
X
\color{blue} Y
=
Y
Z
=
Z
In der Matrixschreibweise wird das LGS zu
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
0 & D & E & \bigl | &N \\
0 & 0& F & \bigl | &L
\end{pmatrix} .
Aus der Dreiecksform lesen wir wie auch direkt aus dem LGS in der dritten Zeile/Gleichung, dass
F z = L, also Z = z = Z.
Die zweite Gleichung
D y + E z = N
umgestellt D y = N - E z und z = Z eingesetzt ergibt
{\color{blue}Y = y = Y}.
Mit diesen beiden Werten z = Z und {\color{blue} y = Y}
in der ersten Gleichung
A x + B y + C z = M
umgestellt A {\color{red}x} = M - B {\color{blue}y} + C z ergibt dann
{\color{red}X = x = X}.