Ein LGS habe die Zeilenstufenform
\begin{pmatrix}A & B & C & \bigl | &M \\
0 & D & E & \bigl | &N \\
0& 0& F & \bigl | &L
\end{pmatrix} mit der eindeutigen Lösung
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
{\color{blue}Y} \\ Z \end{pmatrix}.
Bestimmen Sie die Einträge
\color{red} X
=
X
\color{blue} Y
=
Y
Z
=
Z
Aus der Dreiecksform lesen wir direkt in der dritten Zeile, dass
F Z = L, also Z = Z.
Die zweite Zeile
D Y + E Z = N
umgestellt D Y = N - E Z und Z = Z eingesetzt ergibt
{\color{blue}Y = Y}.
Mit diesen beiden Werten Z = Z und {\color{blue} Y = Y}
in der ersten Zeile
A X + B Y + C Z = M
umgestellt A {\color{red}X} = M - B {\color{blue}Y} + C Z ergibt dann
{\color{red}X = X}.