de-CH
utf-8
math math-format
Bestimmtes Integral von Hand berechnen
i-02-02
number
32
randRangeNonZero(1,3) 3*c randRange(1,8)

Berechnen Sie von Hand mit einer Riemannschen Summe: \displaystyle\int_{0}^{B} a x^2 \, dx.

a*(B*B*B/3)

Nach Definition ist

\displaystyle \int_0^{B} f(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \right).

Dabei zerlegen wir das Intervall [0,B] in n Teilintervalle [x_i,x_{i+1}] mit derselben Breite \displaystyle \Delta x = \frac{B -0}n. Folglich ist x_i = i \cdot \dfrac{B}n.

Setzen Sie ein und versuchen Sie den Grenzwert zu bestimmen.

Es ergibt sich:

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i) \Delta x \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=0}^{n-1} a \cdot \left( i \cdot \frac{B}{n} \right)^2 \cdot \frac{B}{n} \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{a\cdotB^3}{n^3} \cdot \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right).

Verwenden Sie nun, dass gilt: \displaystyle \sum_{i=0}^{n-1} i^2 = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}.

Es folgt

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{a\cdotB^3} {{\color{darkorange}n^3}} \cdot \sum_{i=0}^{n-1} i^2 \right) = \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{a\cdotB^3} {{\color{darkorange}n^3}} \cdot \frac{n(n-1)(2n-1)}{\color{red}6} \right)

\displaystyle = {\color{red}\dfrac{a\cdotB^3}{6}} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)(2n-1)}{{\color{darkorange}n^3}}.

Der Grenzwert ist

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{n(n-1)(2n-1)}{n^3} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3-3n^2+n}{n^3} = \lim_{n \to \infty} 2 - \frac 3{n} + \frac{1}{n^2} = \color{blue}2.

Und zusammen:

\displaystyle \int_{0}^{B} a x^2 \, dx = {\color{red}\frac{a*B*B*B}{6}} \cdot {\color{blue}2} = fractionReduce(a*B*B*B,3).