de-CH
utf-8
math polynomials
Vergleich Integralfunktionen
i-05-01
number
168
randRange(0,5) randRange(1,4) randRange(2,8)

Es sind \displaystyle I_a(x) = \int_{a}^{x} c t\; dt und \displaystyle I_a+b(x) = \int_{a+b}^{x} c t\; dt zwei Integralfunktionen.

Gemäss Hauptsatz sind beides Stammfunktionen der Funktion f mit f(x) = c x. Sie unterscheiden sich daher nur um eine Konstante.

Bestimmen Sie diese Konstante \color{red}C so, dass I_a(x) = I_a+b(x) + \color{red}C ist.

(c/2)*((a+b)*(a+b)-a*a)

Ausgeschrieben soll gelten: \displaystyle {\color{blue}\int_{a}^{x} c t\; dt} = \int_{a+b}^{x} c t\; dt+ \color{red}C .

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen, wenn Sie das Integral auf der {\color{blue}\text{linken Seite}} geschickt zerlegen.

Es ist

\displaystyle {\color{blue} \int_{a}^{a+b} c t\; dt + \int_{a+b}^{x} c t\; dt} = \int_{a+b}^{x} c t\; dt+ \color{red}C.

(Für x \geq a+b lässt sich diese Zerlegung direkt geometrisch veranschaulichen. Machen Sie sich klar, dass sie auch für beliebige, x korrekt ist!)

Wenn wir auf beiden Seiten \displaystyle \int_{a+b}^{x} c t\; dt subtrahieren, erhalten wir:

\displaystyle \int_{a}^{a+b} c t\; dt = \color{red}C.

Die Konstante lässt sich nun mit dem Hauptsatz berechnen:

\displaystyle {\color{red}C} = \int_{a}^{a+b} c t\; dt = c\left(\frac 12 t^2 \bigg|_{a}^{a+b}\right) = fractionReduce(c*((a+b)*(a+b)-a*a),2).