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utf-8
math math-format polynomials
Monotonie der Integralfunktion
i-05-02
number
600
randRange(1,5) randRange(1,4) randRange(1,6) randRange(2,6)

Sei I_0 die Integralfunktion definiert durch

\displaystyle I_0(x) = \int_0^{x} d(t^3 - 2*a+bt^2 + a*(a+b) t)\; dt.

Bestimmen Sie das grösste \color{red}b, so dass I_0 auf dem Intervall [0,{\color{red}b}] streng monoton wachsend ist.

a

Es ist \displaystyle I_0 genau dann streng monoton wachsend auf [0,{\color{red}b}], wenn hier \displaystyle I_0'(x) >0 für alle x gilt.

Nach dem Hauptsatz ist

\displaystyle I_0'(x) = \left(\int_0^{x}d(t^3 - 2*a+bt^2 + a*(a+b) t) \right)' = d (x^3 - 2*a+bx^2 + a*(a+b) x) = d x(x^2 - 2*a+bx + a*(a+b)).

Die Nullstellen von d x(x^2 - 2*a+bx + a*(a+b)) liegen bei 0, {\color{red}a} und a+b.

Zwischen 0 und {\color{red}a} ist die Funktion positiv, da zum Beispiel I_0'\left(fractionReduce(a,2)\right) = fractionReduce(d * a *(a/2 *a/2 -(2*a+b)*a/2 + a*(a+b)),2) >0.

Und damit ist also {\color{red}b= a}.