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Anwendung Integralrechenregeln
i-06-02
number
1440000
randRangeNonZero(2,10) randRangeNonZero(2,10,[a]) randRangeNonZero(1,10) I1 + randRangeNonZero(1,5) randRangeNonZero(1,10) randRange(3,10) randRange(1,5) randRange(1,5) L+h1 U1+h2

Gegeben seien

\displaystyle\int_{L}^{U1} f(x)\; dx = I1, \displaystyle\int_{L}^{U2} f(x)\; dx = I2 und \displaystyle\int_{U1}^{U2} g(x)\; dx = I3.

Berechnen Sie

\displaystyle\int_{U1}^{U2} (af(x) + bg(x)) \; dx.

b*I3 + a*I2-a*I1
Es ist mit den Rechenregeln:

\displaystyle\int_{U1}^{U2} (af(x) + bg(x)) \; dx = \displaystyle a {\color{red}\int_{U1}^{U2} f(x) \; dx} + b{\color{blue}\int_{U1}^{U2} g(x) \; dx}

und dem zweiten (blauen) Summanden \displaystyle b{\color{blue}\int_{U1}^{U2} g(x) \; dx} = b \cdot {\color{blue}I3} = b*I3.

Für den ersten (roten) Summanden betrachten wir die Aufteilung des Integrationsintervall [L,U2 ] in [L,U1 ] und {\color{red}[U1,U2 ]}:

\displaystyle I2 = \int_{L}^{U2} f(x) \; dx = \int_{L}^{U1} f(x) \; dx + {\color{red}\int_{U1}^{U2} f(x) \; dx} = I1+ {\color{red}\int_{U1}^{U2} f(x) \; dx}

und damit \displaystyle {\color{red}\int_{U1}^{U2} f(x) \; dx} = I2 - I1 = I2-I1.

Also zusammen

\displaystyle\int_{U1}^{U2} (af(x) + bg(x)) \; dx = a \cdot I2-I1 + b*I3 = b*I3 + a*I2-a*I1.