Gegeben sei die Funktion
f: \mathbb R^2 \to \mathbb R
mit
f(x,y) = A x + B y
.
Berechnen Sie das Integral \displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA
über dem Gebiet \color{orange}D
.
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA =
(A*(P2y-P1y)*(P2x*P2x-P1x*P1x) + B*(P2y*P2y -P1y*P1y)*(P2x-P1x))/2
Es ist
\displaystyle
\int\int_{\orange{D}} f(x,y) dA =
\int_{P1x}^{P2x} \int_{P1y}^{P2y} (Ax + By) \, dy dx
.
Die innere Integration ist
\displaystyle \int_{P1y}^{P2y} (Ax + B y) \, dy
= (A x) \cdot y + fractionReduce(B,2)\cdot y^2\bigg|_{P1y}^{P2y} =
A*(P2y-P1y)x + fractionReduce(B*(P2y*P2y -P1y*P1y) ,2).
Damit erhalten wir für die äussere Integration:
\displaystyle \int_{P1x}^{P2x}
\left(A*(P2y-P1y)x + fractionReduce(B*(P2y*P2y -P1y*P1y) ,2)\right) dx
= fractionReduce(A*(P2y-P1y),2) x^2 +
fractionReduce(B*(P2y*P2y -P1y*P1y),2)x \bigg|_{P1x}^{P2x} =
fractionReduce((A*(P2y-P1y)*(P2x*P2x-P1x*P1x) + B*(P2y*P2y -P1y*P1y)*(P2x-P1x)) ,2).