Gegeben sei die Funktion
f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = A x + B y.
Berechnen Sie das Integral \displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA über dem Gebiet \color{orange}D.
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA =
Zerlege
{\orange{D}} in drei einfache Bereiche
{\orange{D}} = {\orange{D_1}} \cup {\orange{D_2}} \cup {\orange{D_3}}:
{\orange{D_1}} = \left\{ (x,y) \, | \, X1 \leq x \leq X2, \;
sUu x + gyUu \leq y
\leq sUo x + gyUo\right\} und
{\orange{D_2}} = \left\{ (x,y) \, | \, X2 \leq x \leq X3, \;
sMu x + gyMu \leq y
\leq sMo x + gyMo\right\} und
{\orange{D_3}} = \left\{ (x,y) \, | \, X3 \leq x \leq X4, \;
sOu x + gyOu \leq y
\leq sOo x + gyOo\right\}.
Dann ist
\displaystyle
\int\int_{\orange{D}} f(x,y) dA =
\int_{X1}^{X2} \int_{sUu x + gyUu}^{sUo x + gyUo}
(Ax + By) \, dy dx
+
\int_{X2}^{X3} \int_{sMu x + gyMu}^{sMo x + gyMo}
(Ax + By) \, dy dx
+
\int_{X3}^{X4} \int_{sOu x + gyOu}^{sOo x + gyOo}
(Ax + By) \, dy dx .
Berechne die innere Integration für den ersten Summanden
\displaystyle
\int_{X1}^{X2} \int_{sUu x + gyUu}^{sUo x + gyUo}
(Ax + By) \, dy dx
= \int_{X1}^{X2}
\left( A x \cdot y +
fractionReduce(B,2)\cdot y^2\bigg|_{sUu x + gyUu}^{sUo x + gyUo} \right) \; dx
= \int_{X1}^{X2}
\left(iUq x^2 + iUlN x + iUcN \right) \; dx .
Die äussere Integration ist dann
\displaystyle \int_{X1}^{X2}
\left(iUq x^2 + iUlN x + iUcN \right) \; dx
=fractionReduce(iUqN,3) x^3 + fractionReduce(iUlN,2) x^2 + iUcN x \bigg|_{X1}^{X2}
= fractionReduce(2*iUqN*(pow(X2,3)-pow(X1,3)) + 3* iUlN*(pow(X2,2)-pow(X1,2)) + 6 *iUcN*(X2-X1),6).
Die beiden anderen Summanden sind :
\displaystyle
\int_{X2}^{X3} \int_{sMu x + gyMu}^{sMo x + gyMo}
(Ax + By) \, dy dx = fractionReduce(2*iMqN*(pow(X3,3)-pow(X2,3)) + 3* iMlN*(pow(X3,2)-pow(X2,2)) + 6 *iMcN*(X3-X2),6)
und
\displaystyle
\int_{X3}^{X4} \int_{sOu x + gyOu}^{sOo x + gyOo}
(Ax + By) \, dy dx =
fractionReduce(2*iOqN*(pow(X4,3)-pow(X3,3)) + 3* iOlN*(pow(X4,2)-pow(X3,2)) + 6 *iOcN*(X4-X3),6).
Damit ist zusammen:
\displaystyle
\int\int_{\orange{D}} f(x,y) dA =
fractionReduce(2*iOqN*(pow(X4,3)-pow(X3,3)) + 3* iOlN*(pow(X4,2)-pow(X3,2)) + 6 *iOcN*(X4-X3) + 2*iMqN*(pow(X3,3)-pow(X2,3)) + 3* iMlN*(pow(X3,2)-pow(X2,2)) + 6 *iMcN*(X3-X2) + 2*iUqN*(pow(X2,3)-pow(X1,3)) + 3* iUlN*(pow(X2,2)-pow(X1,2)) + 6 *iUcN*(X2-X1),6).