Für eine Konstante \color{red}K sei die Funktion f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = A {\color{red}K} + B y gegeben.
Für welches \color{red}K ist das Integral
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA = I mit dem Dreieck \color{orange}D unten.
{\color{red}K} =
Es ist
\displaystyle
\int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) \, dA =
\int \int_{{\color{orange}D}} (A {\color{red}K} + B y) \, dA =
\int \int_{{\color{orange}D}} A {\color{red}K} \, dA + \int \int_{{\color{orange}D}} B y \, dA.
Der erste Summand
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} A {\color{red}K} \, dA =
A {\color{red}K} \int \int_{{\color{orange}D}} 1 \, dA berechnet sich schnell geometrisch,
da \displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} 1 \, dA = Flächeninhalt des Dreiecks
{\color{orange}D} = X \cdot Y = Y*X.
Zusammen hat der erste Summand den Wert
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} A {\color{red}K} \, dA = A*X*Y {\color{red}K}.
Wir überlegen (auch geometrisch), dass der zweite Summand
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} B y \, dA verschwinden muss.
Es ist
\displaystyle
\int \int_{{\color{orange}D}} B y \, dA =
B \int_{0}^{X}
\int_{fractionReduce(Y,X,small=true) x - Y}^{-fractionReduce(Y,X,small=true) x +Y}
y \, dy dx.
Für die Intervallgrenzen der inneren Integration gilt
fractionReduce(Y,X) x - Y = - \left(-fractionReduce(Y,X) x +Y\right),
das heisst, die eine Grenze ist jeweils das negative der anderen.
Aufgrund der Symmetrie der ungerade Funktion y \mapsto y folgt also
\displaystyle
\int_{fractionReduce(Y,X,small=true) x - Y}^{-fractionReduce(Y,X,small=true) x +Y} y \, dy =0.
Es bleibt zusammen
\displaystyle \int \int_{{\color{orange}D}} f(x,y) dA = I = A*X*Y {\color{red}K}
und
{\color{red}K} = K.