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EV und EW gemeinsam bestimmen
ev-ew-01-01
multiple
1048576
randRange(1,12) randRange(-12,-1) randRange(1,12) randRange(1,12) randRange(1,12) randRange(1,D*Y/X-1) L - (X*B)/Y X/Y *(L - D) fractionReduce(Y*L - X * B,Y) fractionReduce(X *(L - D),Y) fractionReduce(D*Y*L - B*X *L,Y) AN*D - CN * B fractionReduce(Y*D + Y*L - X * B,Y) fractionReduce(Y*D - X * B,Y)

Die Matrix A = \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} definiert ein DGL-System y' = Ay.

Bestimmen Sie den Eintrag {\color{red}B}, sodass die Lösung des Systems bei y(0) = \begin{pmatrix} Y*Z \\ {\color{red}B} \end{pmatrix} startet und \displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} gilt.

EV \color{red} B = X*Z

Zunächst bestimmen wir die Eigenwerte {\color{blue}\lambda_{1,2}} als eine Nullstelle des Charakteristischen Polynoms:

\lambda^2 - T \cdot \lambda + S = \left(\lambda - {\color{blue}negParens(L)} \right) \cdot \left(\lambda - {\color{blue}L2}\right) = \left(\lambda - {\color{blue}\lambda_1} \right) \cdot \left(\lambda - {\color{blue}\lambda_2} \right) .

Wählen wir entsprechende Eigenvektoren v_1 und v_2, ist die allgemeine Lösung des Systems die Funktion

y: \mathbb R \to \mathbb R^2 mit y(t) = C_1 \cdot e^{ {\color{blue}L} \cdot t} \cdot v_1 + {\color{orange}C_2}\cdot e^{{\color{blue}\lambda_2} \cdot t} \cdot v_2.

Wir suchen also {\color{red}B} zum einen mit y(0) = \begin{pmatrix} Y*Z \\ {\color{red}B} \end{pmatrix} und zum zweiten \color{orange}C_2 = 0, da {\color{blue}\lambda_2} = L2 \geq 0.

Dies garantiert die Konvergenz \displaystyle \lim_{t \to \infty} y(t) = \lim_{t \to \infty} C_1 e^{ {\color{blue}L} \cdot t} \cdot v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}.

Wir setzen also ein und gleich:

y(0) = \begin{pmatrix} Y*Z \\ {\color{red}B} \end{pmatrix} = C_1 \cdot e^{ {\color{blue}L} \cdot 0} \cdot v_1 = C_1 \cdot v_1.

Um weiter rechnen zu können, müssen wir die Eigenvektoren bestimmen:

Aus der Gleichung A v_1 = {\color{blue}\lambda_1} v_1 erhalten wir als Eigenvektoren die Vektoren der Form \alpha\cdot \begin{pmatrix} Y \\ X \end{pmatrix} mit 0 \neq \alpha \in \mathbb R.

In der ersten Koordinate erhalten wir die Gleichung Y*Z = C_1 \cdot Y und damit Z = C_1.

Dieses Z = C_1 setzen wir in die zweite Koordinatengleichung ein, und erhalten {\color{red}B} = Z*X.