Gegeben sei die Funktion f: \mathbb R^2 \to \mathbb R mit
f(x,y) = A x + B y.
Berechnen Sie
für die Kurve \gamma mit
\gamma(t) = \begin{pmatrix} Z \cos(t) + X \\
Z \sin(t)+ Y\end{pmatrix} und
0 \leq t < 2 \pi
das Kurvenintegral:
\displaystyle \int_\gamma f \, ds=
Mit der Definition des Kurvenintegral rechnen wir ein bestimmtes Integral
\displaystyle \int_{\gamma} f \, ds =
\int_0^{2\pi} {\color{blue}f(x(t),y(t))} \cdot {\color{red}|\gamma'(t)|} \, dt.
Durch einsetzen wird
\color{blue}f(x(t),y(t)) =
A \left(Z \cos(t) + X \right) +
B \left(Z \sin(t)+ Y\right)
und vereinfacht, zusammengefasst auf der rechten Seite
\color{blue}f(x(t),y(t)) =A*Z \cos(t) + B*Z \sin(t)+
A*X+B*Y.
Für den zweiten Faktor {\color{red}|\gamma'(t)|} leiten wir \gamma ab:
\gamma'(t) = \begin{pmatrix} Z (-\sin(t)) \\ Z\cos(t) \end{pmatrix}
.
Mit Pythagoras ist dann \color{red}|\gamma'(t)| = |Z| =
abs(Z) konstant.
Also
\displaystyle \int_{\gamma} f \, ds =
\int_0^{2\pi} {\color{blue}f(x(t),y(t))} \cdot {\color{red}|\gamma'(t)|} \, dt
= abs(Z)* A*Z \int_0^{2\pi} \cos(t) \, dt +
abs(Z)* B*Z \int_0^{2\pi} \sin(t) \, dt +
abs(Z)*(A*X+B*Y) \int_0^{2\pi} 1 \, dt .
Die beide Integrale mit den trigonometrischen Funktionen verschwinden.
Das folgt aus direkter Rechnung mit dem Hautpsatz und es bleibt
\displaystyle \int_{\gamma} f \, ds
=2*abs(Z)*(A*X+B*Y) \pi.