Sei f eine gerade Funktion mit
\displaystyle\int_{0}^{U}
f(x)\; dx = I.
Berechnen Sie
\displaystyle\int_{0}^{-U}
f(x) \; dx.
Wir vertauschen beim gesuchten Integral
\displaystyle\int_{\color{blue}{0}}^{
\color{red}{-U}}
f(x)\; dx die Grenzen und erhalten ein Minuszeichen
\displaystyle
\int_{\color{blue}{0}}^{
\color{red}{-U}} f(x)\; dx =
- \int_{\color{red}{-U}}^{\color{blue}{0}}
f(x)\; dx.
Der Graph einer geraden Funkion ist
symmetrisch bezüglich der y-Achse.
Hier sehen wir zwei Beispielgraphen im gleichen Koordinatensystem:
Die Flächenstücke sind jeweils gleich gross.
Am symmetrischen Graphen sehen wir damit:
\displaystyle
\pm\left(\int_{\color{red}{-U}}^{\color{blue}{0}}
f(x)\; dx\right) =
Linke Fläche =
Rechte Fläche = \pm\left(
\displaystyle
\int_{0}^{U}
f(x)\; dx\right)
.
Und zusammen:
\displaystyle\int_{0}^{-U}
f(x) \; dx =
- \int_{\color{red}{-U}}^{\color{blue}{0}}
f(x)\; dx
= -I.