Die Matrix
A=
\begin{pmatrix} A & B \\
C & D \end{pmatrix}
und der Vektor
\begin{pmatrix}X \\
Y \end{pmatrix}
definieren y' = A \cdot y + \begin{pmatrix}X \\
Y \end{pmatrix}.
Bestimmen Sie {\color{red}X} und {\color{blue}Y} so, dass
{\color{orange}y_{\infty}} =
\begin{pmatrix} {\color{red}X} \\
{\color{blue}Y} \end{pmatrix}
ein stationärer Zustand des inhomogenen Systems ist.
\color{red} X
=
(-D*X+B*Y)/det
\color{blue} Y
=
(-A*Y+C*X)/det
Wir suchen eine Lösung \color{orange}y_{\infty} mit
{\color{orange}y'_{\infty}} = 0 = A \cdot {\color{orange}y_{\infty}} + \begin{pmatrix}X \\
Y \end{pmatrix}.
Da A=
\begin{pmatrix} A & B \\
C & D \end{pmatrix}
invertierbar ist, mit \det(A) = det und
A^{-1}=
\frac 1{det}\begin{pmatrix} D & -B \\
-C & A \end{pmatrix},
können wir die Gleichung
0 = A \cdot {\color{orange}y_{\infty}} + \begin{pmatrix}X \\
Y \end{pmatrix} nach \color{orange}y_{\infty} auflösen.
Es sind - \begin{pmatrix}X \\
Y \end{pmatrix}= A \cdot {\color{orange}y_{\infty}} und nach Multiplikation mit
A^{-1} von links
A^{-1} \left(- \begin{pmatrix}X \\
Y \end{pmatrix}\right)= {\color{orange}y_{\infty}}
.
Eingesetzt ergibt dies {\color{orange}y_{\infty}} =
\begin{pmatrix} {\color{red}SX} \\
{\color{blue}SY} \end{pmatrix}
.