Gegeben sei das Vektorfeld K_{\color{red}b}: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2 mit
K_{\color{red}b}(x,y) =\begin{pmatrix} A x + B y+Cxy^2 \\
D{\color{red}b}y^3 \end{pmatrix}
und das Rechteck unten mit der positiv orientierten Randkurve \gamma = \partial R.
Finden Sie ein {\color{red}b}, sodass der Fluss durch \gamma von Innen nach aussen gleich
F ist, das heisst
\displaystyle \oint_\gamma K \cdot n \ ds = F.
{\color{red}b}=
Wir möchten den Fluss \displaystyle \oint_\gamma K \cdot n \ ds mit dem Satz von Gauss in der Ebene
berechnen.
Dieser besagt \displaystyle \oint_\gamma K \cdot n \ ds = \iint_R \operatorname{div}(K)(x,y) \ dA.
Wir berechnen die Divergenz mit \displaystyle \operatorname{div}(K)(x,y) =
\left(A\cdot x + B\cdot y+Cxy^2\right)_x +
\left( D{\color{red}b}y^3 \right)_y =
A+Cy^2 + 3*D{\color{red}b}y^2.
Wählen wir
\displaystyle {\color{red}b} = fractionReduce(-C, 3*D)
, wird die Divergenz konstant =A.
Dies setzen wir in den Satz von Gauss ein und erhalten:
\displaystyle \oint_\gamma K \cdot n \ ds = \iint_R A \ dA = A \iint_R 1 \ dA =
A \cdot ( Flächeninhalt des Rechtecks R).
Und schlussendlich \displaystyle \oint_\gamma K \cdot n \ ds =
A \cdot abs(X) *abs(Y)= F.