Woche 1
19. Februar
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Ausblick auf die Vorlesung:
- partielle Ableitungen
- Divergenz eines Vektorfeldes
- Satz von Gauss
- Anwendungen dieses Satzes in der Strömungslehre und Elektrostatik
- Gewöhnliche Differentialgleichungen (Fortsetzung von Analysis 1):
- charakteristisches Polynom einer homogenen linearen GDG mit konstanten Koeffizienten
- Basis für den Lösungsraum einer solchen GDG
- homogene GDG zweiter Ordnung, freier gedämpfter harmonischer Oszillator
- unterkritische, kritische, überkritische Dämpfung
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Zi 0.2, 7.2, 7.3
Bl 3.5, 3.6
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Serie 0
Serie 1 |
Musterlösung 0
Musterlösung 1 |
| 20. Februar, Morgen
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- homogene GDG zweiter Ordnung, freier gedämpfter harmonischer Oszillator:
unterkritische, kritische, überkritische Dämpfung
- Inhomogene lineare GDG:
- Anwendung: elektrischer Schwingkreis mit Wechselspannungsquelle, erzwungene Schwingung
- Resonanz
- System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung
- Umschreiben einer GDG als ein solches System
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Zi 7.3, 7.4
Bl 3.6
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| 20. Februar, Nachmittag
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- Existenz- und Eindeutigkeit der globalen Lösung eines linearen Systems von GDG mit Anfangsbedingung
- Existenz- und Eindeutigkeit der globalen Lösung einer linearen GDG höherer Ordnung
- Matrixexponentiation
- Fundamentallösung eines linearen Systems von GDG mit konstanten Koeffizienten
- Anwendung auf das Anfangswertproblem für ein solches System
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Zi 7.5
Bl 3.5
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Woche 2
26. Februar
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- partielle Differenzierbarkeit, partielle Ableitung
- Jacobi-Matrix
- (totale) Differenzierbarkeit und Ableitung einer Funktion mehrerer Veränderlicher
- Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit
- Kettenregel für eine Funktion mehrerer Veränderlicher
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Zi 8.1, 8.2
Bl 2.4, 1.1
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Serie 2 |
Musterlösung 2 |
| 27. Februar, Morgen
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- Beispiel für Kettenregel: Ableitung einer quadratischen Funktion
- Anwendung der Kettenregel: Ableitung von Summe, Produkt, Quotient
- Beweisidee für die Kettenregel
- Richtungsableitung
- Gradient
- stetige (partielle) Differenzierbarkeit
- Vektorfeld, Potential
- Wegintegral
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Zi 8.2
Bl 5.1, 5.4
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| 27. Februar, Nachmittag
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Beispiel: Wegintegral des Kraftfeldes
- Charakterisierung der Konservativität eines stetigen Vektorfeldes mittels Wegintegrale
- Wegzusammenhang
- Potentiale eines konservativen stetigen Vektorfeldes
- Beispiel: physikalische Interpretation, konservatives Kraftfeld, Arbeit, Energieerhaltung
- einfacher Zusammenhang
- Charakterisierung der Konservativität mittels partieller Ableitungen, Integrabilitätsbedingung
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Zi 8.3, 8.4
Bl 6.1, 6.2, 6.4
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Woche 3
5. Maerz
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- Anwendung der Charakterisierung der Konservativität mittels partieller Ableitungen: nicht-einfacher Zusammenhang
- Rotation eines Vektorfeldes
- Erklaerung fuer den Namen ``Rotation'', Fluss eines Vektorfeldes
- Holomorphie, Cauchy-Riemann-Gleichungen, Integrabilitaetsbedingung, (komplexes) Wegintegral
- partielle Ableitungen hoeherer Ordnung
- Satz von Schwarz, Vertauschen partieller Differentiationen
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Zi 8.4, 8.5
Bl 6.2, 6.4, 5.2
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Serie 3 |
Musterlösung 3 |
| 6. März, Morgen
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- Korollar zum Satz von Schwarz: Vertauschen partieller Differentiationen
- Anwendung des Satzes von Schwarz: Satz: Jedes konservative C^1-Vektorfeld erfüllt die Integrabilitätsbedingung.
- Taylorpolynom in mehreren Variablen
- Multi-Index-Schreibweise
- Taylorformel, Restglied
- (strikte) lokale Extremalstelle
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Zi 8.5,
Bl 5.2
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| 6. März, Nachmittag
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- (strikte) lokale Extremalstelle
- kritischer Punkt
- Hesse-Matrix
- positive und negative Definitheit
- Sattelpunkt
- C^k-Diffeomorphismus
- Umkehrsatz
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Zi 8.5, 9.1
Bl 5.2, 5.4
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Woche 4
12. März
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- Umkehrsatz
- Beispiel: Polarkoordinaten
- Satz über implizite Funktionen
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Zi 9.1, 9.2
Bl 5.4, 5.3
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Serie 4 |
Musterlösung 4 |
| 13. März (Nachmittag)
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- Beispiele zum Satz über implizite Funktionen:
- Ableitung der impliziten Funktion im Beispiel vom 12. März
- einfache Nullstellen von Polynomen
- Untermannigfaltigkeit des Koordinatenraums
- Immersion
- Submersion
- Einbettung
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Zi 9.2, 9.3
Bl 5.3
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