Informationen zur Vorlesung

Voraussichtliches Programm der Vorlesung (wird im Laufe des Semesters aktualisiert):

Die Literaturangaben beziehen sich auf:
Zi := F. Ziltener, Skript zu den Vorlesungen Analysis 1 und 2 für ITET und RW
Bl := Chr. Blatter, Ingenieur-Analysis 1 und 2, zweite Auflage, 1996

Woche	Inhalt (Nummern: Kapitel und Abschnitte im Skript von F. Ziltener)	Literatur	Serie	Musterlösung
Woche 1 19. Februar	Ausblick auf die Vorlesung: partielle Ableitungen Divergenz eines Vektorfeldes Satz von Gauss Anwendungen dieses Satzes in der Strömungslehre und Elektrostatik Gewöhnliche Differentialgleichungen (Fortsetzung von Analysis 1): charakteristisches Polynom einer homogenen linearen GDG mit konstanten Koeffizienten Basis für den Lösungsraum einer solchen GDG homogene GDG zweiter Ordnung, freier gedämpfter harmonischer Oszillator unterkritische, kritische, überkritische Dämpfung	Zi 0.2, 7.2, 7.3 Bl 3.5, 3.6	Serie 0 Serie 1	Musterlösung 0 Musterlösung 1
20. Februar, Morgen	homogene GDG zweiter Ordnung, freier gedämpfter harmonischer Oszillator: unterkritische, kritische, überkritische Dämpfung Inhomogene lineare GDG: Anwendung: elektrischer Schwingkreis mit Wechselspannungsquelle, erzwungene Schwingung Resonanz System gewöhnlicher Differentialgleichungen 1. Ordnung Umschreiben einer GDG als ein solches System	Zi 7.3, 7.4 Bl 3.6
20. Februar, Nachmittag	Existenz- und Eindeutigkeit der globalen Lösung eines linearen Systems von GDG mit Anfangsbedingung Existenz- und Eindeutigkeit der globalen Lösung einer linearen GDG höherer Ordnung Matrixexponentiation Fundamentallösung eines linearen Systems von GDG mit konstanten Koeffizienten Anwendung auf das Anfangswertproblem für ein solches System	Zi 7.5 Bl 3.5
Woche 2 26. Februar	partielle Differenzierbarkeit, partielle Ableitung Jacobi-Matrix (totale) Differenzierbarkeit und Ableitung einer Funktion mehrerer Veränderlicher Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit Kettenregel für eine Funktion mehrerer Veränderlicher	Zi 8.1, 8.2 Bl 2.4, 1.1	Serie 2	Musterlösung 2
27. Februar, Morgen	Beispiel für Kettenregel: Ableitung einer quadratischen Funktion Anwendung der Kettenregel: Ableitung von Summe, Produkt, Quotient Beweisidee für die Kettenregel Richtungsableitung Gradient stetige (partielle) Differenzierbarkeit Vektorfeld, Potential Wegintegral	Zi 8.2 Bl 5.1, 5.4
27. Februar, Nachmittag	Beispiel: Wegintegral des Kraftfeldes Charakterisierung der Konservativität eines stetigen Vektorfeldes mittels Wegintegrale Wegzusammenhang Potentiale eines konservativen stetigen Vektorfeldes Beispiel: physikalische Interpretation, konservatives Kraftfeld, Arbeit, Energieerhaltung einfacher Zusammenhang Charakterisierung der Konservativität mittels partieller Ableitungen, Integrabilitätsbedingung	Zi 8.3, 8.4 Bl 6.1, 6.2, 6.4
Woche 3 5. Maerz	Anwendung der Charakterisierung der Konservativität mittels partieller Ableitungen: nicht-einfacher Zusammenhang Rotation eines Vektorfeldes Erklaerung fuer den Namen ``Rotation'', Fluss eines Vektorfeldes Holomorphie, Cauchy-Riemann-Gleichungen, Integrabilitaetsbedingung, (komplexes) Wegintegral partielle Ableitungen hoeherer Ordnung Satz von Schwarz, Vertauschen partieller Differentiationen	Zi 8.4, 8.5 Bl 6.2, 6.4, 5.2	Serie 3	Musterlösung 3
6. März, Morgen	Korollar zum Satz von Schwarz: Vertauschen partieller Differentiationen Anwendung des Satzes von Schwarz: Satz: Jedes konservative C^1-Vektorfeld erfüllt die Integrabilitätsbedingung. Taylorpolynom in mehreren Variablen Multi-Index-Schreibweise Taylorformel, Restglied (strikte) lokale Extremalstelle	Zi 8.5, Bl 5.2
6. März, Nachmittag	(strikte) lokale Extremalstelle kritischer Punkt Hesse-Matrix positive und negative Definitheit Sattelpunkt C^k-Diffeomorphismus Umkehrsatz	Zi 8.5, 9.1 Bl 5.2, 5.4
Woche 4 12. März	Umkehrsatz Beispiel: Polarkoordinaten Satz über implizite Funktionen	Zi 9.1, 9.2 Bl 5.4, 5.3	Serie 4	Musterlösung 4
13. März (Nachmittag)	Beispiele zum Satz über implizite Funktionen: Ableitung der impliziten Funktion im Beispiel vom 12. März einfache Nullstellen von Polynomen Untermannigfaltigkeit des Koordinatenraums Immersion Submersion Einbettung	Zi 9.2, 9.3, 9.4 Bl 5.3
Woche 5 19. März	``Einbettungssatz'' Charakterisierung einer Untermannigfaltigkeit Satz vom regulären Wert Tangentialraum an eine Untermannigfaltigkeit Charakterisierung des Tangentialraumes	Zi 9.4, 9.5, 9.6 Bl 5.3, 5.4, 5.1	Serie 5	Musterlösung 5
20. März	Charakterisierung des Tangentialraumes Dimension des Tangentialraumes Beispiele für den Tangentialraum Tangentialabbildung = Ableitung einer Funktion zwischen Untermannigfaltigkeiten	Zi 9.6, 9.7, 9.8 Bl 5.1, 5.3, 5.5
Woche 6 26. März	Extrema einer Funktion auf Untermannigfaltigkeit kritischer Punkt einer Funktion auf einer Untermannigfaltigkeit Lagrange-Multiplikatorenregel mehrdimensionales eigentliches Riemann-Integral	Zi 9.8, 10.1 Bl 5.5, 4.5	Serie 6	Musterlösung 6
27. März	Eigenschaften des mehrdimensionalen Riemann-Integrals Satz von Fubini, wiederholte Integration Vertauschen der Integrationsreihenfolge Jordan-Mass Substitutionsregel für ein mehrdimensionales Integral	Zi 10.2, 10.3, 10.4, 10.5 Bl 4.5, 4.1, 5.4
Woche 7 2. April	Substitutionsregel für ein mehrdimensionales Integral: Beispiel: affine Transformation Integral einer drehinvarianten Funktion Integral der gaußschen Glockenkurve Transformationssatz für das Volumen Beweisidee für die Substitutionsregel Kurvenintegral einer Funktion	Zi 10.5, 11.1 Bl 4.5, 5.4, 6.3	Serie 7	Musterlösung 7
3. April	Kurvenintegral einer Funktion allgemeines Schema: Definition einer Grösse mittels eines Hilfsobjekts Interpretation des Kurvenintegrals einer Funktion, Beispiel Einheitstangentialvektorfeld an eine Kurve = Orientierung Kurvenintegral eines Vektorfeldes C^k-Gebiet Satz von Green	Zi 11.1, 11.2 Bl 6.3, 6.2
Woche 8 9. April	Satz von Green Interpretation der Rotation als Zirkulation pro eingeschlossene Fläche Untermannigfaltigkeit mit Rand Einheitsnormalvektorfeld = Koorientierung einer Hyperfläche	Zi 11.2, 11.3, 11.4 Bl 6.2	Serie 8	Musterlösung 8
10. April	Einheitsnormalvektorfeld = Koorientierung einer Hyperfläche: Beispiel Hemisphäre induzierte Orientierung des Randes einer Fläche Integral einer Funktion über eine Untermannigfaltigkeit	Zi 11.3, 11.4, 11.5
Woche 9 16. April	Integral einer Funktion über eine Untermannigfaltigkeit: geometrische Interpretation für allgemeines d und n Fall n=3, d=2 Flächeninhalt der Kugelkappe und der zweidimensionalen (Hemi-)Sphäre Fluss eines Vektorfeldes durch Hyperfläche Satz von Stokes	Zi 11.4, 11.5, 11.6 Bl 6.4	Serie 9	Musterlösung 9
17. April	Satz von Stokes: Beispiele: Fluss durch Kugelkappe Maxwellgleichung, faradaysches Induktionsgesetz Divergenz Satz von Gauß Beispiel: Volumen der Sphäre strömungsmechanische Interpretation der Divergenz Beispiel für den Satz von Gauß: Maxwellgleichung, Gaußsches Gesetz der Elektrostatik	Zi 11.6, 11.7 Bl 6.4, 6.2, 6.3

Übungen aus den letzten Jahren

Die Übungen aus FS24 sind hier verfügbar. Übungen aus FS23 sind hier verfügbar.