Vorlesungsaufzeichnungen: Aufzeichnungen
Notizen von Dr. Ziltener Um es Ihnen zu erleichtern, sich auf den Inhalt meiner Vorlesungen statt auf das Abschreiben zu konzentrieren, stelle ich Ihnen meine eigenen Notizen zur Verfügung, womit ich die Vorlesung halte. Diese Notizen ändern sich laufend. Es lohnt sich daher, regelmässig die neueste Version von hier herunterzuladen. Im Moment sind die Notizen mit LaTeX geschrieben. Möglicherweise werde ich im Laufe der Vorlesung zu handgeschriebenen Notizen wechseln.
Skript von Prof. Struwe: Vorlesungsskript, Fehlerliste. Sollten Ihnen Tipp- oder andere Fehler auffallen, so teilen Sie dies entweder dem Dozenten oder dem Organisator mit.
Buch: Gewisse Teile der Vorlesung basieren auf dem folgenden Buch, das aus zwei Bänden besteht:
J. J. Duistermaat und J. A. C. Kolk, Multidimensional Real Analysis I and II, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 87, Cambridge University Press, Cambridge, 2004.
Weitere Fehler:
Auf Seite 13, bei \(O.i)\) sollte \(\mathbb{R}\) anstatt \(X\) stehen.
Auf Seite 174, Bemerkung 7.5.3 sollte in der zweiten Gleichung stehen:
\(\displaystyle{\sum_{i_1, \ldots, i_n=1}^{m} \frac{\partial^{m} f}{\partial x^{i_1} \ldots \partial x^{i_m}}(x_0) \prod_{j=1}^{m} (x_{1}^{i_j} - x_{0}^{i_j}) = \sum_{| \alpha| = m} \frac{m!}{\alpha_1 ! \ldots \alpha_{n} !} \partial^{\alpha} f(x_0) (x_1 - x_0)^{\alpha}}\),
und enstprechend danach:
\(\displaystyle{T_{n}f(x;x_0) = f(x_0) + df(x_0)(x-x_0) + \ldots + \sum_{| \alpha| = m} \frac{1}{\alpha_1 ! \ldots \alpha_n !} \partial^{\alpha} f(x_0) (x_1 - x_0)^{\alpha}}\).
Auf Seite 181, Beispiel 7.7.1 iii) ist der Zielbereich für Polarkoordinaten falsch gewählt, da \( \arctan(x) \) nur Werte in \( ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} [ \) annimmt, siehe 5.3.1 iii) im Skript. Es sollte daher stehen:
\( U := ]0, \infty [ \times ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} [ \)
In der Vorlesung wird stattdessen die folgende Umkehrfunktion gegeben auf \(]0,+\infty[\times]-\pi,+\pi[\)
\(g(x,y):=\left(\sqrt{x^2+y^2},\begin{cases}\arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \quad &\text{ für } y\geq 0 \\ -\arccos (x/\sqrt{x^2+y^2}) \quad &\text{ für } y\leq 0 \end{cases}\right)\).
Voraussichtliches Programm der Vorlesung (wird im Laufe des Semesters aktualisiert):
| Woche | Inhalt (Nummern: Kapitel und Abschnitte in den Notizen von Dr. Ziltener) | Referenzen zum Skript von Prof. Struwe (St) und zum Buch von Duistermaat und Kolk (DK) | Serie | Musterlösung |
|---|---|---|---|---|
| 1. Woche 21.02. / 22.02. |
0 Übersicht über die Vorlesung: partielle Ableitungen Divergenz eines Vektorfeldes Satz von Gauss Anwendungen dieses Satzes in der Strömungslehre und Elektrostatik 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen: 1.1 Definition, Beispiele Anwendungen: gedämpfter Federschwinger, elektrischer Schwingkreis 1.2 Linearität und Homogenität einer GDG Superpositionsprinzip Lösungsraum einer homogenen linearen GDG charakteristisches Polynom einer GDG 1.3 Homogene GDG zweiter Ordnung freier gedämpfter harmonischer Oszillator |
St 5.6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Beispiel 5.6.1. Bemerkung 5.6.1. iii) Beispiel 5.6.3. Satz 5.6.2. Korollar 5.6.1. Beispiel 5.6.4. Satz 5.6.3. Beispiel 5.6.6. |
Serie 1 | Musterlösung 1 |
| 2. Woche 28.02. / 29.02. |
1.4 Inhomogene lineare GDG Anwendung: elektrischer Schwingkreis mit Wechselspannungsquelle 1.5 Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen Anfangswertprobleme Existenz- und Eindeutigkeit der globalen Lösung eines linearen Systems von GDG mit Anfangsbedingung Anwendung auf eine lineare GDG höherer Ordnung |
St 5.7 Inhomogene Differentialgleichungen Beispiel 5.7.1. Satz 5.7.1. Beispiel 5.7.2. 5.6 Gewöhnliche Differentialgleichungen Beispiel 5.6.1. iv,v) Definition 5.6.1. Satz 5.6.1. Definition 5.6.2. Bemerkung 5.6.1. |
Serie 2 | Musterlösung 2 |
| 3. Woche 06.03. / 07.03. |
1.5 Existenz- und Eindeutigkeit der globalen Lösung einer linearen GDG höherer Ordnung Matrixexponentiation Fundamentallösung eines linearen Systems von GDG mit konstanten Koeffizienten Anwendung auf das Anfangswertproblem für ein solches System 2 Topologie, Stetigkeit 2.1 Abschluss einer Menge Grenzwert einer Funktion Stetigkeit stetige Ergänzbarkeit Verknüpfung stetiger Funktionen Kompaktheit Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung stetige Funktion nimmt auf kompakter Menge Maximum an |
St Satz 5.6.1 Definition 5.6.2 Bemerkung 5.6.1 ii) Definition 4.1.1 Beispiel 4.1.2 Definition 4.1.2 Definition 4.1.3 Beispiel 4.1.3 Definition 4.2.1 Beispiel 4.2.1 |
Serie 3 | Musterlösung 3 |
| 4. Woche 13.03. / 14.03. |
2.1 stetige Funktion nimmt auf kompakter Menge Maximum an 2.2 innerer Punkt Inneres Offenheit Abgeschlossenheit Charakterisierungen:
kompakt ist äquivalent zu abgeschlossen und beschränkt 2.3 Charakterisierung von Stetigkeit mittels offener und abgeschlossener Mengen Umgebung Charakterisierung von Stetigkeit in einem Punkt mittels Umgebungen 3 Differentialrechnung im R^n 3.1 Partielle Ableitungen und Differential partielle Differenzierbarkeit, partielle Ableitung Jacobi-Matrix |
St Satz 4.2.3 Beispiel 4.2.3 Definition 4.3.1 Beispiel 4.3.1 Satz 4.3.1 Bemerkung 4.3.1 Definition 4.3.2 Satz 4.3.2 Definition 4.3.3 Bemerkung 4.3.2 Satz 4.3.3 Beispiel 4.3.3 Bemerkung 4.3.3 Beispiel 4.3.4 Satz 4.3.4 Satz 4.3.5 Satz 4.3.6 Bemerkung 4.3.4 Definition 4.5.1 Beispiel 4.5.1 Satz 4.5.1 Beispiel 4.5.2 Satz 4.5.2 Beispiel 7.1.1 Definition 7.1.1 |
Serie 4 | Musterlösung 4 |
| 5. Woche 20.03. |
(totale) Differenzierbarkeit und Ableitung einer Funktion mehrerer Veränderlicher Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit Kettenregel für eine Funktion mehrerer Veränderlicher Anwendung: Ableitung von Summe, Produkt, Quotient |
St Beispiel 7.1.2 Definition 7.1.2 Bemerkung 7.1.1 Beispiel 7.1.3 Satz 7.2.2 Beispiel 7.2.1 Satz 7.2.3 Definition 7.6.1 Bemerkung 7.6.1 Beispiel 7.6.1 Satz 7.6.2 Bemerkung 7.6.2 Beispiel 7.6.3 |
Serie 5 | Musterlösung 5 |
| 21.03. |
Kettenregel:
Gradient |
St Satz 7.2.1 Satz 7.2.2 Beispiel 7.2.1 Satz 7.2.3 Definition 7.6.1 Bemerkung 7.6.1 Beispiel 7.6.1 Satz 7.6.1 Beispiel 7.6.2 Satz 7.6.2 Bemerkung 7.6.2 Beispiel 7.6.3 |
||
| 6. Woche 27.03. |
3.3 Vektorfeld Potential eines Vektorfeldes Konservativität eines Vektorfeldes 3.4 Charakterisierung der Konservativität eines Vektorfeldes mittels Wegintegralen Wegzusammenhang und Konvexität einer Teilmenge des R^n Konstruktion eines Potentials für ein konservatives Vektorfeld |
St Definition 7.4.2 Definition 7.4.3 Satz 7.4.1 Satz 7.4.2 Satz 7.4.3 |
Serie 6 | Musterlösung 6 |
| 28.03. |
|
St Satz 8.4.3 Beispiel 8.4.7 Satz 8.7.2 Beispiel 8.7.3 |
||
| 7. Woche 10.04 |
|
St Definition 7.5.1 Satz 7.5.1 Bemerkung 7.5.1 Korollar 7.5.1 Definition 7.5.2 Bemerkung 7.5.2 |
Serie 7 | Musterlösung 7 |
| 11.04 |
|
St Satz 7.5.2 Bemerkung 7.5.3 Bemerkung 7.5.4 Satz 7.5.3 Bemerkung 7.5.5 Definition 7.5.3 Beispiel 7.5.2 |
||
| 8. Woche 17.04. |
|
St Beispiel 7.5.2 iii) Satz 7.7.1 Beispiel 7.7.1 Beispiel 7.8.1 Definition 7.8.1 Bemerkung 7.8.1 Definition 7.8.2 Beispiel 7.8.2 |
Serie 8 | Musterlösung 8 |
| 18.04. |
|
St Satz 7.8.1 Bemerkung 7.8.2 Beispiel 7.8.3 DK 4.1, 4.2 |
||
| 9. Woche 24.04. |
|
DK 4.1-4.7 |
Serie 9 | Musterlösung 9 |
| 9. Woche 25.04. |
|
DK 5.1, 5.3 |
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| 10. Woche 02.05. |
|
DK 5.2, 5.4, 5.5, 6.1 St Beispiel 7.9.1 Satz 7.9.1 Definition 7.9.1 Beispiel 7.9.2 Bemerkung 7.9.1 Beispiel 7.9.3 Definition 8.1.1 Bemerkung 8.1.1 Definition 8.1.2 Beispiel 8.1.1 Definition 8.1.3 Bemerkung 8.1.2 |
Serie 10 | Musterlösung 10 |
| 11. Woche 08.05. |
|
DK 6.1-6.5 St Definition 8.1.1 Bemerkung 8.1.1 Definition 8.1.2 Beispiel 8.1.1 Definition 8.1.3 Bemerkung 8.1.2 Satz 8.1.1 Satz 8.1.2 Satz 8.1.3 Satz 8.2.1 Beispiel 8.2.1 Bemerkung 8.2.1 Beispiel 8.2.2 Beispiel 8.2.3 Satz 8.2.2 Beispiel 8.2.4 |
Serie 11 | Musterlösung 11 |
| 12. Woche 15.05. |
|
DK 6.3-6.6 St Satz 8.2.1 Beispiel 8.2.1 Bemerkung 8.2.1 Beispiel 8.2.2 Beispiel 8.2.3 Satz 8.2.2 Beispiel 8.2.4 Definition 8.3.1 Bemerkung 8.3.1 Beispiel 8.3.1 Definition 8.3.3 Bemerkung 8.3.3 Beispiel 8.3.3 Beispiel 8.5.1 Satz 8.5.2 Beispiel 8.5.4 |
Serie 12 | Musterlösung 12 |
| 16.05. |
|
DK 6.6, 8.1 St Satz 8.5.1 Beispiel 8.5.3 |
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| 13. Woche 22.05. / 23.05 |
Der Satz von Green 8.4.1 für beliebige \(C_{pw}^1\)-Gebiete, das Integral der Rotation eines Vektorfeldes über einem \(C_{pw}^1\)-Gebiet entspricht seiner Zirkulation entlang des Rands (Satz 8.4.2), Definition 4.6.2 von wegzusammenhängenden Gebieten, Definition 8.4.3 von \(C_{pw}^1\) beschränkten, einfach zusammenhängenden Gebieten in \(\mathbb{R}^2\), der Satz von Poincaré auf \(C_{pw}^1\) beschränkten, einfach zusammenhängenden Gebieten in \(\mathbb{R}^2\) (Satz 8.4.3). Repetition der Substitutionsregel in 1 Dimension (Satz 6.1.5), Definition eines Diffeomorphismus (8.5.1), Charakterisierung von Diffeomorphismen als \(C^1\) bijektive Abbildungen mit überall invertierbarer Jakobi-Matrix (Bemerkung 8.5.1), Beispiel eines Diffeomorphismus mit den Polar-Koordinaten, Transformationssatz 8.5.1, Anwendung von dem Transformationssatz zur Benutzung von Polarkoordinaten um die Masse der 2-dimensionalen Kreisscheibe mit Radius \(R\) auszurechnen (Beispiel 8.5.3 ii), Substitutionsregel (Satz 8.5.2), Verwendung der Substitutionsregel um das Integral auf \(\mathbb{R}\) von der Gaussverteilung zu bestimmen, Definition 8.6.1 einer lokalen Immersion von einer offenen Menge in \(\mathbb{R}^2\) nach \(\mathbb{R}^3\), Der Graph von einer Funktion der Klasse \(C^1\) in \(\mathbb{R}^3\) definiert eine lokale Immersion. Repetition des Kreuzprodukts von zwei Vektoren in \(\mathbb{R}^3\). | |||
| 14. Woche 29.05. / 30.05. |
Definition des 2-dimensionalen Flächeninhalts des Bildes einer Jordan messbaren und beschränkten offenen Menge in \(\mathbb{R}^2\) unter einer lokalen Immersion (Definition 8.6.2), Beispiel der halben 2-dimensionalen Sphäre in \(\mathbb{R}^3\), Definition von dem Integral einer stetigen Funktion auf \(\mathbb{R}^3\) auf einer Fläche (Definition 8.6.3), Beispiel des Integrals der Höhen-Funktion auf der halben 2-dimensionalen Sphäre in \(\mathbb{R}^3\), Definition des Einheitsnormalen-Vektorfeldes zu einer Fläche, Definition 8.6.4 des Flusses eines Vektorfelds auf \(\mathbb{R}^3\) durch eine Fläche, Definition 8.7.1 der Rotation eines Vektorfeldes auf \(\mathbb{R}^3\), die Einheitsnormalen-Vektoren zu einem Gebiet der Klasse \(C^1\) in \(\mathbb{R}^2\), die Divergenz eines Vektorfeldes in 2 Dimensionen, Der Satz von Gauss in 2 Dimensionen, Beweis des Satzes von Gauss im 2 Dimensionen, die Divergenz eines Vektorfeldes in 3 Dimensionen, der Satz von Gauss in 3 Dimensionen für einen Hypograph, Satz von Stokes in \(\mathbb{R}^3\) (Satz 8.7.1). |
Übungsserien: Die Serie n wird vor der Vorlesung am Mittwoch der Woche n auf diese Webseite geladen. Sie behandelt den Stoff der Woche n. (Im Fall der Serie 1 gibt es auch Aufgaben, die der Repetition von Stoff aus Analysis 1 und Linearer Algebra dienen.) Ich empfehle Ihnen, zu versuchen, die Serie zu lösen, sobald Sie den Stoff dazu in der Vorlesung kennengelernt haben.
Die Serie n wird am Montag/Dienstag der Woche n+1 während der Übungsstunde besprochen (Anfang 19./20. Februar). Empfehlung: Bereiten Sie sich auf die Übungsstunde vor, indem Sie Fragen zu Aufgaben aufschreiben, die Sie dann in der Übungsstunde stellen.
Sie haben danach eine weitere Woche Zeit, um die Serie zu lösen. Ihre Lösungen können Sie am Montag/Dienstag der Woche n+2 abgeben, entweder in der Übungsstunde oder über die Online-Submission-Platform SAM-Up Tool (dafür brauchen Sie eine ETH VPN Verbindung).
Multiple-Choice fragen können Sie direkt auf Moodle beantworten.
Nach einer Woche erhalten Sie die korrigierte Serie zurück. Musterlösungen werden auf dieser Webseite publiziert. Einige Aufgaben werden in der Übungsstunde nachbesprochen.
Übungsaufgaben zählen nicht zur Note.
Quiz: die Quiz, welche zu einem kleinen Notenbonus verwendet werden können, werden via Moodle durchgeführt. Sie erhalten jeweils jeden zweiten Freitag ab der zweiten Semesterwoche die Möglichkeit, zu einem beliebigen Zeitpunkt zwischen 8:00 und 22:00 während des Tages, das Quiz zu bearbeiten. Dazu haben Sie entweder 10 oder 20 Minuten Zeit, um einige Multiple-Choice Aufgaben zu lösen. Beachten Sie die folgenden Punkte:
| Zeit | Raum | Tutor | Kommentar |
|---|---|---|---|
| Mo 08-10 | HG E 33.5 | Angelo Nujic | |
| Mo 08-10 | HG G 26.1 | Harshul Khanna | Auf Englisch |
| Mo 08-10 | HG G 26.5 | Nicolas Schmid | |
| Mo 08-10 | LFW C 1 | Alexandra Möritz | |
| Mo 08-10 | ML H 43 | Daniel Weiler | |
| Di 10-12 | CHN D 46 | Hugo Posada Saiz | |
| Di 10-12 | ETZ F 91 | Daniel Weiler | |
| Di 10-12 | HG G 26.3 | Harshul Khanna | Auf Englisch |
| Di 10-12 | LEE C 104 | Alexandra Möritz | |
| Di 10-12 | LEE D 105 | Nicolas Schmid | |
| Di 10-12 | ML H 43 | Angelo Nujic |
Konrad Koenigsberger, Analysis II;
Christian Blatter, Ingenieur-Analysis (Kapitel 4-6).