Grundstrukturen, Frühling 2025

Weitere Informationen zur Vorlesung

Zeitplan für die Vorlesung und Übungsserien

Dieser Inhalt wird laufend aktualisiert.

Woche und Tag Inhalt (Nummern: Kapitel und Abschnitte in den Notizen von Dr. F. Ziltener) Referenzen zum Skript von Prof. L. Halbeisen Serie Musterlösung

Woche 1

18. Februar
  • Übersicht über die Vorlesung
  • Prädikatenlogik erster Stufe:
    • Ausblick: Korrektheitssatz, Gödelscher Vollständigkeitssatz
    • Alphabet
    • Terme
    • Formeln
0. Terme, Formeln und Formale Beweise 0

1 		0

1

Woche 2

25. Februar
  • wohlgebildete Formeln: weitere Beispiele
  • Infixnotation
  • Bereich eines Quantors, Gebundenheit und Freiheit einer Variable
  • Substitution einer Variable durch einen Term
  • die logischen Axiome
  • Schlussregeln: Modus Ponens, Verallgemeinerung
  • formaler Beweis
0. Terme, Formeln und Formale Beweise 2 2

Woche 3

4. März
  • Bemerkungen zur Metamathematik
  • DEDUKTIONSTHEOREM
  • Anwendung: Gleichheitszeichen ist eine Äquivalenzrelation.
  • logische Äquivalenz
  • Satz über logische Äquivalenz (Substitution)
  • Theorie = Menge der nicht-logischen Axiome, Beispiele:
    • Gruppen-
    • Ring-
    • Körpertheorie
    • Theorie der dichten lineare Ordnungen
0. Terme, Formeln und Formale Beweise

1. Axiomensysteme und semi-formale Beweise 		3 3

Woche 4

11. März
  • Theorie = Menge der nicht-logischen Axiome, Beispiel:
    • Peano-Arithmetik
  • semi-formaler Beweis
  • Struktur
  • Variablenbelegung, Interpretation
1. Axiomensysteme und semi-formale Beweise

2. Modelle 		4 4

Woche 5

18. März
  • Modell
  • Korrektheitssatz
  • Gödelscher Vollständigkeitssatz
2. Modelle 5 5

Woche 6

25. März
  • Anwendung des Gödelschen Vollständigkeitssatzes: semantischer Beweis
  • Beispiel: In einer Gruppe ist jedes Linksinverse ein Rechtsinverses.
  • Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF:
    • Definition einer Menge mittels einer Formel
    • Russellsche Antinomie
    • Aussonderungsaxiom
    • übrige Axiome von ZF
2. Modelle

3. Die Axiome der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre 		6 6

Woche 7

1. April
  • Begriff einer Menge
  • Begriff einer Definition
  • unitäres Durchschnittssymbol, leerer Durchschnitt, ``Menge'' aller Mengen = Allklasse
  • Potenzmengenaxiom, Ersetzungsaxiomenschema, Fundierungsaxiom
  • Diskussion zur Menge der rationalen Zahlen
3. Die Axiome der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre

4. Konstruktion der Reellen Zahlen 		7 7

Woche 8

8. April
  • Menge der reellen Zahlen = Dedekind-Schnitte
  • Quadratwurzel aus 2
  • Ordnung, Addition, Multiplikation reeller Zahlen
  • b-adischer Bruch
  • Supremum und Infimum
4. Konstruktion der Reellen Zahlen 8 8

Woche 9

15. April
  • Quadratwurzel aus 2
  • Auswahlaxiom
  • kartesisches Produkt beliebiger Mengen
  • Wohlordnungsprinzip
  • Ordinalzahlen
4. Konstruktion der Reellen Zahlen

5. Das Auswahlaxiom 		9 9

Woche 10

29. April
  • Auswahlaxiom ist äquivalent zum Wohlordnungsprinzip
  • Halbordnung
  • Kuratowski-Zorn-Lemma
5. Das Auswahlaxiom

Übungsserien vom letzten Jahr

Aufgabenblatt Abgabe und Besprechung Lösung
Serie 0 28. Februar 2024, in der Übungsstunde Lösung 0
Serie 1 06. März 2024, in der Übungsstunde Lösung 1
Serie 2 13. März 2024, in der Übungsstunde Lösung 2
Serie 3 20. März 2024, in der Übungsstunde Lösung 3
Serie 4 27. März 2024, in der Übungsstunde Lösung 4
Serie 5 10. April 2024, in der Übungsstunde Lösung 5
Serie 6 17. April 2024, in der Übungsstunde Lösung 6
Serie 7 24. April 2024, in der Übungsstunde Lösung 7
Serie 8 02. Mai 2024, Abgabe: Fächer im HG F 28 Lösung 8
Serie 9 08. Mai 2024, in der Übungsstunde Lösung 9
Serie 10 15. Mai 2024, in der Übungsstunde Lösung 10
Serie 11 22. Mai 2024, in der Übungsstunde Lösung 11
Serie 12 29. Mai 2024, in der Übungsstunde Lösung 12