Grundstrukturen, Frühling 2025

Woche 1

18. Februar

• Übersicht über die Vorlesung
• Prädikatenlogik erster Stufe:
  • Ausblick: Korrektheitssatz, Gödelscher Vollständigkeitssatz
  • Alphabet
  • Terme
  • Formeln

Woche 2

25. Februar

• wohlgebildete Formeln: weitere Beispiele
• Infixnotation
• Bereich eines Quantors, Gebundenheit und Freiheit einer Variable
• Substitution einer Variable durch einen Term
• die logischen Axiome
• Schlussregeln: Modus Ponens, Verallgemeinerung
• formaler Beweis

Woche 3

4. März

• Bemerkungen zur Metamathematik
• DEDUKTIONSTHEOREM
• Anwendung: Gleichheitszeichen ist eine Äquivalenzrelation.
• logische Äquivalenz
• Satz über logische Äquivalenz (Substitution)
• Theorie = Menge der nicht-logischen Axiome, Beispiele:
  • Gruppen-
  • Ring-
  • Körpertheorie
  • Theorie der dichten lineare Ordnungen

Woche 4

11. März

• Theorie = Menge der nicht-logischen Axiome, Beispiel:
  • Peano-Arithmetik
• semi-formaler Beweis
• Struktur
• Variablenbelegung, Interpretation

Woche 5

18. März

• Modell
• Korrektheitssatz
• Gödelscher Vollständigkeitssatz

Woche 6

25. März

• Anwendung des Gödelschen Vollständigkeitssatzes: semantischer Beweis
• Beispiel: In einer Gruppe ist jedes Linksinverse ein Rechtsinverses.
• Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF:
  • Definition einer Menge mittels einer Formel
  • Russellsche Antinomie
  • Aussonderungsaxiom
  • übrige Axiome von ZF

Woche 7

1. April

• Begriff einer Menge
• Begriff einer Definition
• unitäres Durchschnittssymbol, leerer Durchschnitt, ``Menge'' aller Mengen = Allklasse
• Potenzmengenaxiom, Ersetzungsaxiomenschema, Fundierungsaxiom
• Diskussion zur Menge der rationalen Zahlen

Woche 8

8. April

• Menge der reellen Zahlen = Dedekind-Schnitte
• Quadratwurzel aus 2
• Ordnung, Addition, Multiplikation reeller Zahlen
• b-adischer Bruch
• Supremum und Infimum

Woche 9

15. April

• Quadratwurzel aus 2
• Auswahlaxiom
• kartesisches Produkt beliebiger Mengen
• Wohlordnungsprinzip
• Ordinalzahlen

Woche 10

29. April

• Auswahlaxiom ist äquivalent zum Wohlordnungsprinzip
• Halbordnung
• Kuratowski-Zorn-Lemma

Woche 11

6. Mai

• Auswahlaxiom impliziert Kuratowski-Zorn-Lemma: Ende des Beweises
• Anwendungen des Kuratowski-Zorn-Lemmas:
  • Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.
  • Banach-Tarski-Paradox, Hausdorff-Paradox

Woche 11

6. Mai

• Ende des Beweises des Hausdorff-Paradoxes, Paradoxität vererbt sich unter freier Gruppenwirkung
• Gleichmächtigkeit von Mengen
• Cantorsche Diagonalverfahren
• Satz von Cantor-Bernstein-Schröder
• Kardinalität, Kardinalzahl