Analysis 1 Herbst 2022

Logik : Wahrheitstafel 1.1.1. Die Transitivität der Implikation 1.1.2. Die Kontraposition. Das Prinzip des indirekten Beweises. Beispiel 1.1.2. Das Prinzip der vollständigen Induktion. Beispiel 1.1.3. Definition einer Menge. Beispiele 1.2.1. Mengenoperationen : Vereinigungsmenge, Durchschnitt, Differenzmenge. Beispiel 1.2.3. Definition des Allquantors, Definition des Existenzquantors, Definition des Eindeutigkeitsquantors. Beispiel 1.2.4. Definition einer Funktion/Abbildung. Definition des Definitionsbereiches, Definition des Wertebereichs. Definition der Identitätsabbildung. Definition des Bildes einer Menge. Definition des Urbildes einer Menge. Definition der Komposition (Verknüpfung). Assoziativität der Verknüpfung. Definition 1.3.1 der Surjektivität, Injektivität, Bijektivität. Definition der Umkehrabbildung einer bijektiven Funktion/Abbildung.

Elementare Zahlen 2.1 : natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationalen Zahlen. Der Zahlenstrahl. Zwischen zwei unterschidlichen irrationalen Zahlen liegt eine Weitere. Satz 2.1.1: \(\sqrt{2}\) ist nicht rational. Beweis vom Satz 2.1.1. Axiome der Addition und der Multiplikation auf \(\mathbb{R}\). Axiome für die Ordnung in \(\mathbb{R}\) ((O.i)O.ii), O.iii), O.iv)). Konsitenz der Ordnung mit der Addition und der Multiplikation in \(\mathbb{R}\) ((K.i), K.ii)).

Der Vollständigkeitsaxiom. Folgerungen 2.2.1 aus den Axiomen. Es gibt ein \(c\in \mathbb{R}\) mit \(c^2=2\). Beweis von dieser Aussage. Bemerkung 2.2.3. Definition 2.2.1 des Absolutbetrags einer reellen Zahl. Die Dreiecks-Ungleichung (Satz 2.2.1). Die Youngsche Ungleichung (Satz 2.2.2). Definition 2.3.1 von oberen (b.z.w. unteren ) Schranken. Existenz einer kleinsten oberen (b.z.w. grössten unteren) Schranke und Definition des Supremums (b.z.w. des Infimums) (Satz 2.3.1). Beispiele 2.3.2 i), ii). Beispiel 2.3.3 i). Das archimedische Prinzip (Satz 2.3.2). Definition des \(n\)-dimensionalen euklidischen Raums. Definition der Addition und der Skalarmultiplikation auf \(\mathbb{R}^n\). Eigenschaften der Addition und der Skalarmultiplikation auf \(\mathbb{R}^n\) : Distributivgesetz der Skalarmultiplikation bez. der Addition S. i), Distributivgesetz der Addition bez. der Skalarmultiplikation S.ii), Assoziativität der Skalarmultiplikation S.iii), Existenz eines Einzelelements S.iv). Definition der Standardbasis. Definition einer Linearkombination. Definition des Standardskalarprodukts auf \(\mathbb{R}^n\). Eigenschaften des Skalarprodukts : Symmetrie SP.i), Bilinearität SP.ii)-SP.iii). Definition der euklidischen Norm. Beispiel 2.4.4. Der Satz von Cauchy-Schwarz (Satz 2.4.1). Beweis des Satzes von Cauchy Schwarz (Satz 2.4.1). Eigenschaften der euklidischen Norm (Satz 2.4.2). Definition der komplexen Multiplikation.

Eigenschaften der komplexen Multiplikation (Assoziativität, Kommutativität, Distributivität bezüglich der Addition, Existenz eines neutralen Element, Existenz eines Inverses). Die Einschränkung der \(\mathbb{C}\)-Multiplikation auf der Reallinie stimmt mit der Multiplikation auf \(\mathbb{R}\) überein. Bemerkungen 2.5.1 i) und ii) : die komplexe Multiplikation durch eine reelle Zahl stimmt mit der Skalarmultiplikation überein. Die Definition von iii. Jede komplexe Zahl lässt sich in eiener eindeutigen Weise als lineare Kombination von 1 und \(i\) darstellen. Definition des Realteils und des Imaginärteils einer komplexen Zahl. Definition der Konjugation. Eigenschaften der Konjugation. Folgerungen 2.5.1 i) und ii) : Ausdruck des Inverses mittels Konjugation, die euklidische Norm eines Prudukts gleicht das Produkt der euklidischen Normen. Die Polarform einer komplexen Zahl. Die Euler Notation für Komplexe Zahlen auf der Einheitskreis. Die geometrische Interpretation der komplexen Multiplikation. Existenz einer 2-ten Wurzel für jede komplexe Zahl. Die \(q\)-ten Wurzeln einer komplexen Zahl. Es gibt keine Ordnung auf \(\mathbb{C}\)-kompatibel mit der Körperoperationen. \(\mathbb{C}\)- ist algebraisch vollständig : der Fundamentalsatz der Algebra. Die Vollständige Faktorizierung von Polynomen in \(\mathbb{C}\). Die Binomialkoffiziente. Der Binomische Lehrsatz. Induktiv Beweis der vollständigen Faktorizierung von Polynomen in \(\mathbb{C}\) aus dem Fundamentalsatz der Algebra (Serie 4).

Definition einer Folge und Beispiele von Folgen. Definition einer Reihe und das Beispiel der geometrischen Reihen (3.1 iii)). Die explizite Ausrechnung einer geometrischen Reihen. Definition einer konvergierenden Folge. Definition eines Limes (Definition 3.2.1). Beispiele (mit Beweisen) 3.2.1 i), 3.2.1 ii), 3.2.1 iii), 3.2.2 iv). Jede konvergierende Folge ist beschränkt. Es existieren Folgen, die beschränkt sind aber nicht konvergieren (Beispiel 3.2.2 i)). Satz der monotonen Konvergenz (3.3.1) mit Beweis. Konvergenzkriterien: Satz 3.3.2 mit Beweis. Anwendung des Satzes 3.3.2 : Beispiel 3.3.2 i).

Definition einer Teilfolge (Definition 3.4.1). Beispiel 3.4.1 von einer Teilfolge. Definition eines Häufungspunkts (Definition 3.4.2). Charakterisierung eines Häufungspunkts (Bemerkung 3.4.1). Beispiele von Häufungspunkten (Beispiel 3.4.2 und \([−1,1]\) für \((\sin⁡(n))_{n\in \mathbb{N}}\). Definition des Limes superior und des Limes inferior einer beschränkten Folge. Limes superior und Limes inferior sind die grösste und die kleinste Häufungspunkte der Folge (Lemma 3.4.1). Beweis des Lemma 3.4.1. Der Satz von Bolzano Weierstrass (Satz 3.4.1). Beweis des Satzes von Bolzano Weierstrass. Eine beschränkte Folge konvergiert genau dann wenn sie einen einzigen Häufungspunkt besitzt d.h. Limes superior und limes inferior stimmen überein (Beweis davon). Beispiel 3.4.3 von einer nicht monotonen beschränkten Folge mit einer einzigen Häufungspunkt (dann konvergiert). Definition einer Cauchy Folge (Definition 3.5.1). Das Cauchy-Kriterium für die Konvergenz einer Folge (Satz 3.5.1). Beweis des Satzes 3.5.1. Anwendungen des Cauchy-Kriteriums : Die harmonische Reihe und die alternierende harmonische Reihe (Beispiel 3.5.1 i) and ii)).

Definition einer konvergierenden vektorwertigen Folge (Definition 3.6.1). Charakterisierung einer konvergierenden vektorwertigen Folge (Satz 3.6.1). Beweis des Satzes 3.6.1. Das Cauchy Kriterium für Vektorwertige Folgen (Satz 3.6.2). Definition einer beschränkten vektorwertigen Folge (Definition 3.6.2). Der Satz von Bolzano-Weierstrass für vektorwertige Folge. Definition von konvergierenden Reihen (Definition 3.7.1). Beispiel einer konvergierenden Reihe : die geometrische Reihe (Beispiel 3.7.1 i)). Das Cauchy Kriterium für Reihen (Satz 3.7.1). Quotientenkriterium für konvergierende und nicht konvergierende Folgen (Satz 3.7.2). Anwendung des Quotientkriteriums zu der Exponentialreihe (Beispiel 3.7.2 i)). Beweis des Quotientskriteriums (Satz 3.7.2). Das Wurzelkriterium (Satz 3.7.3). Anwendung auf Potenzreihen. Die Definition des Konvergenzradius einer Potenzreihe. Charakterisierung des Konvergenzbereichs einer Potenzreihe (Satz 3.7.4). Beispiel 3.7.3. Definition der Absolutskonvergenz einer Reihe (Definition 3.8.1). Bemerkung : Eine absolut konvergierende Reihe konvergiert. Beispiel der Absolutskonvergenz mit Potenzreihen innerhalbs des Konvergenzradius. Gegenbeispiel 3.8.1 der alternierenden harmonischen Reihe. Stetigkeit auf \(\mathbb R\). Definition eines Intervalls. Definition der Existenz eines Grenzwerts einer verktorwertigen Funktion (Definition 4.1.2) und Definition der Stetigkeit an einer Stelle (Definition 4.1.3 i)). Beispiel von Polynomen (Beispiel 4.1.3) und Gegenbeispiel der Vorzeichenfunktion. Definition der Existenz eines linksseitigen Grenzwerts (b.z.w. rechtsseitigen Grenzwerts) für eine vektorwertige Funktion die auf einem Intervall definiert wird an einer Stelle innerhalb des Intervalls. Beispiel der vorzeichen Funktion.

Existenz von linksseitigen Grenzwerten (b.z.w. rechtsseitigen Grenzwerten) an jeder Stelle für eine wachsende ( b.z.w. fallende) beschränkte Funktion auf einem Intervall (Beispiel 4.1.3 vii) (mit Beweis). Definition einer stetigen Funktion auf einem Intervall. Eigenschaften von stetigen Funktionen : Die Verknüpfung von stetigen Funktionen ist stetig (Satz 4.2.1), die Linearkombination von stetigen Funktionen ist stetig (Satz 4.2.2). Die Vektorraum Struktur von stetigen Funktionen auf einem Intervall. Das Weierestrass'sches \(\varepsilon\)-\(\delta\) Kriterium für Stetigkeit (Satz 4.5.1 i) \(\iff\) ii)) Beweis des Weierstrass'schen Kriteriums für Stetigkeit (Beweis vom Satz 4.5.1 i) \(\iff\) ii) ). Die charakteristiche Funktion der rationellen Zahlen ist nirgendwo stetig (Beispiel 4.1.3 iv) ). Die Stetigkeit der Funktion Wurzel vom absoluten Betrag. Der Zwischensatz (Satz 4.6.1.). Beweis des Zwischensatzes : Das ''Bisektionsverfahren''. Anwendung des Zwischensatzes : die reelle Polynome mit ungeraden Graden besitzen mindestens eine reelle Nullstelle. Definition einer streng monoton wachsenden Funktion auf einem Intervall von \(\mathbb R\) (Definition 4.6.1). Stetige streng monoton wachsende Funktionen auf einem abgeschlosenen Intervall von \(\mathbb R\) besitzen eine stetige Inverse (Satz 4.6.2). Beweis des Satzes 4.6.2. Fortsetzung des Satzes 4.6.2 auf beliebigen Intervallen. Beispiel 4.6.2 i) die \(n\)te-Wurzelfunktion.

Beispiel 4.6.2 ii) die Stetigkeit und Umkehrfunktion der Exponentialfunktion : die Logarithmusfunktion. Das Additiontheorem für die Logarithmusfunktion. Definition der gleichmässigen Stetigkeit (Definition 4.7.2). Die Funktion \(\sin \frac{1}{x}\) ist auf dem Intervall \((0,1]\) nicht gleichmässig stetig. Bemerkung : gleichmässige Funktionen auf einem beschränkten Intervall sind beschränkt. Stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall sind gleichmässig stetig (Satz 4.7.3 für \(\Omega = [a,b]\)). Beweis von dem Satz 4.7.3. Definition der punktweisen Konvergenz und der gleichmässigen Konvergenz (Definition 4.8.1 i) und ii)). Beispiel 4.8.1 i). Die partielle Summen einer Potenzreihe konvergieren gleichmässig zu der Potenzreihe auf alle kompakte Intervallen innerhalb der offenen Konvergenzkreises (Beispiel 4.8.1 ii)). Das gleichmässige Limes einer Folge von stetigen Funktionen ist stetig (Satz 4.8.1). Beweis des Satzes 4.8.1. Potenzreihen sind stetig im Inneres ihres Konvergenzkreises (Satz 4.8.1). Stetige Funktionen auf einer abgeschlossenen Strecke nehmen ihr Supremum und ihr Infimum innerhalb des Intervalls an.

Definition der Differenzierbarkheit und der Ableitung an einer Stelle für eine Funktion, die als Definitionsbereich ein offenes Intervall von \(\mathbb{R}\) hat (Definition 5.1.1 und 5.1.2). Beispiel von Linearen Funktionen, von Polynomen, von der Exponential Potenzreihe. Gegenbeispiel mit dem absolut Betrag (Bemerkung 5.1.2 i))

Eine differenzierbare Funktion ist stetig (Satz 5.1.1). Eigenschaften der Differenzierbarkheit: die Summe, der Produkt und der Quozient von differenzierbaren Funktionen ist auf ihren Definitionsgebieten differenzierbar. Die Formel für die Ableitungen der Summe, des Produkts und des Quozients von 2 differenzierbaren Funktionen (Satz 5.1.2 ). Kettenregel : Die Ableitung der Verknüpfung von zwei differenzierbaren Funktionen (Satz 5.1.3). Beweis der Kettenregels (Satz 5.1.3). Anwendung der Kettenregel (Beispiel 5.1.4 iii). Der Mittelwertsatz 5.2.1. Beweis des Mittelwertsatzes. Korollar des Mittelwertsatzes: eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall deren Ableitung null ist ist konstant, eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall deren Ableitung positiv (b.z.w. negativ) ist ist streng monoton wachsend (b.z.w. fallend) (Korollar 5.2.1). Anwendung des Korollars 5.2.1 : Bestimmung der Lösungsmenge von linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung (Beispiel 5.2.1 i)). Der Satz von Bernouilli-de L'Hospital (Korollar 5.2.2) Beispiele 5.2.2 ii) und iii) von Anwendungen des Satzes von Berouilli-de L'Hospital. Der Umkehrsatz (Satz 5.2.2). Beweis des Umkehrsatzes. Anwendung des Umkehrsatzes (Beispiele 5.2.4 i) und ii)) : die \(\mathrm{Log}\) Funktion ist differenzierbar und \(\mathrm{Log}'(y)=\frac 1 y\). Die \(n\)-te Wurzelfunktion ist auf \((0,+\infty)\) differenzierbar und \(\left(y^{\frac 1 n}\right)' = n^{-1}y^{-1 + \frac 1 n}\). Der Satz von Euler über \(\operatorname{cos}\Phi = \operatorname{Cos}\Phi\) und \(\operatorname{sin}\Phi = \operatorname{Sin}\Phi\) (Satz 5.3.1). Beweis des Satzes von Euler.

Die Zyklometrische Funktionen \(\arccos ⁡y\), \(\arcsin ⁡y\) und \(\arctan⁡ y\) und die Berechnung von ihren Ableitungen. Die Graphen von den 3 zyklometrischen Funktionen. Definition der Funktionen der Klasse \(C^1\) auf einem offenen Intervall (Definition 5.4.1). Beispiele und Gegenbeispiel von Funktionen der Klasse \(C^1\) (Beispiele 5.4.1 i) und ii)). Satz 5.4.1 : das gleichmässige Limes einer Folge von \(C^1\) Funktionen deren erste Ableitung auch gleichmässig konvergiert ist \(C^1\) und die Ableitung des Limes gleicht das Limes der Ableitungen. Beweis des Satzes 5.4.1. Gegenbeispiel 5.4.2 wenn die Folge der Ableitungen nicht gleichmässig konvergiert. Eine Potenzreihe ist im Innern ihres Konvergenzkreises differenzierbar (Satz 5.4.2). Beweis des Satzes 5.4.2. Beispiel 5.4.3 i). Definition 5.4.2 der \(m\)-ten Ableitung und Definition der Funktionen der Klasse \(C^m\) und \(C^\infty\). Beispiele 5.4.4 i) und ii). Die Taylor Formel (Satz 5.5.1). Definition des Taylor-Polynoms \(m\)-ter Ordnung und des Restterms (Bemerkung 5.5.1). Beispiel 5.5.1 i). Definition 5.5.1 eines lokalen Extremums.

Die Charakterisierung von lokalen Extrema durch sukzessive Ableitungen (Korollar 5.5.1). Beispiel \(f(x)= x^2 (x^2-1)\). Definition 5.5.2 einer konvexen Funktion. Satz 5.5.2 über konvexe Funktionen. Die Graphische Interpretation der Konvexität. Beispiele 5.5.3 von konvexen Funktionen. Integration (Kap. 6): Definition 6.1.1 einer Stammfunktion. Beispiele von Stammfunktionen. Eindeutigkeit einer Stammfunktion modulo eine Konstante (Satz 6.1.1). Definition des Integrals zwischen zwei Punkten einer stetigen Funktion, die eine Stammfunktion besitzt (Definition 6.1.2). Linearität des Integrals. Die Partielle Integration Formel (Satz 6.1.2). Beispiele für die Partielle Integration (Beispiel 6.1.2 ii) und iii)). Die Monotonie Eigenschaft der Integration (Satz 6.1.3). Beispiel 6.1.3 ii) : das Wallissche Produkt. Die Substitutionsregel (Satz 6.1.5). Beispiel 6.1.5 i)

Beispiele zu der Substitutionsregel 6.1.5 ii), iv), v) und vi). Variation der Konstanten. Zuerst Repetition allgemeine Lösung von \(y'(x)=a(x)y(x)\) . Ansatz für die Variation der Konstanten, Berechnung der allgemeinen Lösung von \(y'(x)=a(x)y(x)+b(x)\). Partialbruchzerlegung. Beispiel 6.1.6. Existenz der Partialbruchzerlegung (Satz 6.1.6). Anwendung des Satzes 6.1.6 zu der Ausrechnung der Stammfunktion von einem konkreten Quotient von Polynomen. Die geometrische Interpretation des Integrals der konstanten Funktionen und der Linearen Funktionen (Beispiel 6.2.1). Definition einer Treppenfunktion. Definition des Integrals einer Treppenfunktion (Definition 6.2.1). Die Monotonie für das Integral von Treppenfunktionen (Lemma 6.2.1). Beweis vom Lemma 6.2.1. Definition des unteren und des oberen Riemann Integrals einer beschränkten Funktion. Definition der Riemann-Integrabilität (Definition 6.2.2). Eine beschränkte monotone Funktion ist R-Integrabel (Satz 6.2.1). Beweis des Satzes 6.2.1.

Gegenbeispiel 6.2.2 ii) zur R-Integrabilität. Eine stetige Funktion ist R-Integrabel (Satz 6.2.2). Die charakteristische Funktion der rationellen Zahlen ist nicht R-Integrabel. Die Riemann Summen und die numerische Approximierung eines Integrals (Satz 6.2.3). Beispiel von einer riemannschen Summe (Beispiel 6.2.3 i) für \(\alpha=1\)). Die Monotonie des Riemann Integrals. Die Linearität des R-Integrals (Satz 6.3.2). Korollar 6.3.1 und Korollar 6.3.2 : Das Limes der Integralen einer Folge von stetigen Funktionen die gleichmässig konvergiert gleicht das Integral des Limes. Beweise Korollar 6.3.1 und 6.3.2 inklusive kurze Repetition gleichmässige Konvergenz. Allgemeine Formel zur Integration von Potenzreihen in Konvergenzradius : Korollar 6.3.3. Beweis vom Korollar 6.3.3. Beispiel 6.3.1. Gebietsadditivität (Satz 6.3.3) ohne Beweis. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Satz 6.3.4). R-Integral von Funktionen mit Stammfunktion (Korollar 6.3.4). Definition des uneigentlichen Integrals (Definition 6.4.1). Beispiel 6.4.1. Konvergenz von Reihen durch Verwendung uneigentlicher Integrale (Beispiel 6.4.2). Existenz des Integrals \(\int_1^\infty \frac{\sin x}{x} dx\).