Dozent

Benjamin Brück

Übungskoordinator

Raphael Appenzeller

Eintrag im Vorlesungsverzeichnis (VVZ)

Kurze Beschreibung

Dieser Kurs ist eine Einführung in die Modelltheorie, ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Er wird grob den ersten vier Kapiteln des Buchs A Course in Model Theory - Katrin Tent und Martin Ziegler folgen.

Lernziel

Das Hauptziel der Vorlesung ist es, grundlegende Begriffe und Techniken der Modelltheorie zu vermitteln. Es soll aber auch vermittelt werden, wie man diese in Beispielen aus anderen Bereichen der Mathematik (vor allem der Algebra) anwenden kann.

Inhalt

Modelltheorie ist ein Teilgebiet der Logik. Sie befasst sich mit dem Zwischenspiel von Syntax (formale Sprachen, Aussagen und Formeln) und Semantik (Eigenschaften von Strukturen, z.B. aus der Algebra).
Informell gesprochen bedeutet das: Gegeben eine Menge von formalen Aussagen, die durch kombinieren von Quantoren, logischen Verknüpfungen ("und", "oder"), sowie Funktionen und Relationen entstehen. (So eine Menge formaler Aussagen nennt man eine "Theorie".) Welche Eigenschaften haben dann Strukturen (Gruppen, Körper, Graphen,...), die all diese Aussagen erfüllen? (Solche Strukturen nennt man "Modelle" der Theorie.) Und lassen sich umgekehrt Eigenschaften der Theorie aus Eigenschaften ihrer Modelle folgern?
Ein Beispiel hierfür ist der Hilbertsche Nullstellensatz. Er stellt eine algebraische Frage, die ganz grob lautet: "Wann besitzt eine System von Polynomen eine gemeinsame Nullstelle?" Diese Frage kann mit modelltheoretischen Methoden gelöst werden: Der Nullstellensatz folgt aus der Tatsache, dass die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper Quantorenelimination hat. Was das bedeutet und wie es Hilberts Satz beweist, wird in der Vorlesung erklärt werden.
Inhalte der Vorlesung sind unter anderem:

• Grundlegende Definitionen wie Sprache, Formel, Modell, Theorie
• Grundlegende Beweismethoden wie Induktion über Komplexität einer Formel, Normalformen, back-and-forth
• Kompaktheitssatz
• Satz von Löwenheim-Skolem
• Typen und ihre Realisierbarkeit, Kompaktheit als Eigenschaft des Raums der Typen
• Quantorenelimination, Kriterien und Anwendungen wie Hilberts Nullstellensatz
• Kategorizität von Theorien, vor allem im Fall abzählbarer Kardinalität
• Beispiele, vor allem aus der Algebra

Voraussetzungen

Für die algebraischen Beispiele werden Grundlagen benötigt, die z.B. in Algebra I vermittelt werden. Besondere Vorkenntnisse aus der Logik sind nicht nötig. Die Vorlesung ist trotz leichter Überschneidungen definitiv auch für Studierende geeignet, die schon eine Logikvorlesung wie "Die Gödel'schen Sätze" gehört haben.

Organisation

Die Vorlesung findet jeweils Dienstags 8 bis 10 im Raum ML F34 statt.

Die Vorlesung gibt 6 ETCS. Die Prüfung ist schriftlich und findet während der Prüfungssession im August statt.

Vorlesungen

Es wird einen Live-Stream und danach auch eine Aufnahme der Vorlesung geben. Dabei wird jedoch nur das Geschriebene (am Tablet) und Gesprochene aufgenommen, nicht der Dozent selber. Schon vor der Vorlesung haben Sie Zugriff zu Vorausnotizen, die den Ablauf der Vorlesung ungefähr vorgeben. Während der Vorlesung werden diese Vorausnotizen verwendet und ausgefüllt, danach werden die Notizen als Skript ebenfalls hier hochgeladen.

Aufgaben

Alle zwei Wochen erscheint hier nach der Vorlesung am Dienstag ein Übungsblatt. Das erste Blatt erscheint am 22. Februar. Sie können jeweils die Lösungen für bis zu zwei Aufgaben auf SAM-UP (VPN-benötigt) hochladen, oder in der Vorlesung vor der Übungsstunde abgeben, um Feedback zu bekommen. Wir empfehlen Ihnen die Blätter zu zweit zu lösen, dann können sie auch je zwei Aufgaben abgeben und bekommen mehr Rückmeldung. Es wird keine Musterlösungen geben, aber die Aufgaben werden in der darauffolgenden Übungsstunde diskutiert. Die Übungsstunde findet im Hybridmodus statt. Das Passwort für das Zoom-Meeting haben Sie per mail erhalten.

Literatur

• K. Tent & M. Ziegler, A course in model theory. Association for Symbolic Logic, La Jolla, CA; Cambridge University Press, Cambridge, 2012, 40, x+248.
Kann mit ETH-VPN hier heruntergeladen werden.
• D. Marker, Model theory. An introduction. Springer-Verlag, New York, 2002, 217, viii+342.
• W. Hodges, Model theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1993, 42, xiv+772.