Woche 1
18. September |
- Ausblick auf die Vorlesung:
- Konvergenz
- gewöhnliche Differentialgleichungen
- Grundlagen: Logik:
- Aussagen, Verknüpfungen davon
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St
1.1 Logik
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Serie 0
Serie 1
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Serie 0
Serie 1 |
| 19. September |
- Satz
- Axiom
- Beweis:
- direkter Beweis
- Widerspruchsbeweis
- Induktion
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St
1.1 Logik
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Woche 2
25. September |
- Menge
- Mengenoperationen
- de-morgansche Gesetze
- Quantor
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St
1.2 Mengenlehre
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Serie 2
Schnellübung 1
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Serie 2
Schnellübung 1
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| 26. September |
- Funktion
- Injektivität, Surjektivität, Bijektivität
- Umkehrfunktion
- Verknüpfung von Funktionen
- Zahlen: natürliche, ganze, rationale, reelle
- Dedekind-Schnitt
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St
1.3 Funktionen
2.1 Elementare Zahlen
2.2 Die reellen Zahlen
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Woche 3
2. Oktober |
- die reelle Zahl Quadratwurzel aus zwei
- Ordnung, Addition, Multiplikation reeller Zahlen
- b-adischer Bruch, Zusammenhang mit Dedekind-Schnitten
- Absolutbetrag
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St
2.2 Die reellen Zahlen
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Serie 3 |
Serie 3 |
| 3. Oktober |
- Youngsche Ungleichung
- Supremum und Infimum
- Vollständigkeit der reellen Zahlen
- komplexe Zahlen
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St
2.2 Die reellen Zahlen
2.3 Supremum und Infimum
2.5 Komplexe Zahlen
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Woche 4
9. Oktober |
- komplexe Zahlen:
- Real- und Imaginärteil
- komplex Konjugierte
- Inverse
- Polarform
- Fundamentalsatz der Algebra
- Folgen und Reihen:
- Zenons Paradoxon von Achilles und der Schildkröte
- Konvergenz und Grenzwert einer Folge
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St
2.5 Komplexe Zahlen
3 Folgen und Reihen
3.1 Beispiele
3.2 Grenzwert einer Folge
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Serie 4
Schnellübung 2
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Serie 4
Schnellübung 2
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| 10. Oktober |
- Konvergenz und Grenzwert einer Folge
- Konvergenzkriterien:
- Monotoniekriterium
- Konvergenz erhalten unter Summe, Produkt und Quotient
- Ordnung im Limes erhalten
- Eulersche Zahl
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St
3 Folgen und Reihen
3.1 Beispiele
3.2 Grenzwert einer Folge
3.3 Konvergenzkriterien
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Woche 5
16. Oktober |
- Limes superior und inferior
- Folge in R^d, Konvergenz davon
- Konvergenzkriterien für eine Folge in R^d:
- Komponenten-Kriterium
- Cauchy-Kriterium
- Reihe, Konvergenz davon
- Konvergenzkriterien für Reihen:
- Cauchy-Kriterium
- Quotientenkriterium (Anwendung: Exponentialreihe)
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St
3.5 Cauchy-Kriterium
3.6 Folgen in R^d oder C
3.7 Reihen
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Serie 5 |
Serie 5 |
| 17. Oktober |
- Konvergenzkriterien für Reihen:
- Quotientenkriterium (Anwendung: Exponentialreihe)
- Wurzelkriterium
- Potenzreihe
- Konvergenzradius
- Konvergenzkriterium von Leibniz für alternierende Reihen
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St
3.7 Reihen
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Woche 6
23. Oktober |
- absolute Summierbarkeit einer Folge, absolute Konvergenz einer Reihe
- Umordnung einer Reihe
- Cauchy-Produkt zweier Reihen
- Exponentialfunktion und Eulersche Zahl
- Eulersche Formel
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St
3.8 Absolute Konvergenz
3.9 Die Exponentialreihe und die Funktion e^x
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Serie 6
Schnellübung 3
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Serie 6
Schnellübung 3
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| 24. Oktober |
- Stetigkeit:
- erhalten unter Rechenoperationen
- erhalten unter Verknüpfung
- Charakterisierung mittels Komponenten
- durch Potenzreihe definierte Funktion stetig
- Topologie:
- innerer Punkt
- Inneres
- Offenheit
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St
4 Stetigkeit
4.2 Stetige Funktionen
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Woche 7
30. Oktober |
- Abgeschlossenheit
- Eigenschaften offener und abgeschlossener Mengen
- Folgenkriterium für Abgeschlossenheit
- Abschluss
- topologischer Rand
- Charakterisierung des Inneren, Abschlusses und Randes
- Konvergenz und Grenzwert einer Funktion an einer Stelle
- Kompaktheit
- Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge besitzt ein Maximum und ein Minimum.
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St
4.1 Grenzwerte von Funktionen
4.2 Stetige Funktionen
4.3 Ein wenig Topologie
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Serie 7
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Serie 7 |
| 31. Oktober |
- Konvergenz und Grenzwert einer Funktion an einer Stelle
- Kompaktheit
- Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge besitzt ein Maximum und ein Minimum.
- Charakterisierung von Stetigkeit mittels (relativ) offener und abgeschlossener Mengen
- Charakterisierung von Stetigkeit in einem Punkt mittels Umgebungen
- Zwischenwertsatz
- Anwendung davon: Bild der Potenzfunktion und der reellen Exponentialfunktion
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St
4.1 Grenzwerte von Funktionen
4.2 Stetige Funktionen
4.3 Ein wenig Topologie
4.5 Topologisches Kriterium für Stetigkeit
4.6 Zwischenwertsatz und Folgerungen
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Woche 8
6. November |
- Umkehrfunktion zur Potenzfunktion und zur reellen Exponentialfunktion
- Stetigkeit der Umkehrfunktion
- punktweise und gleichmässige Konvergenz
- Potenzreihe konvergiert gleichmässig auf kompaktem Ball.
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St
4.6 Zwischenwertsatz und Folgerungen
4.8 Punktweise und gleichmässige Konvergenz
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Serie 8
Schnellübung 4
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Serie 8
Schnellübung 4
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| 7. November |
- Potenzreihe konvergiert gleichmässig auf kompaktem Ball.
- Stetigkeit erhalten unter gleichmässiger Konvergenz
- Anwendung: Durch Potenzreihe definierte Funktion ist auf Konvergenzkreisscheibe stetig.
- Differentialrechnung auf R:
- Differenzierbarkeit, Ableitung
- Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit
- beste affine Näherung einer Funktion
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St
4.8 Punktweise und gleichmässige Konvergenz
Kapitel 5 Differentialrechnung auf R
5.1 Differential und Differentiationsregeln
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Woche 9
13. November |
- infinitesimale Grössen, Differentialquotient
- beste affine Näherung einer Funktion
- Summen-, Produkt-, Quotientenregel für Ableitung
- Kettenregel
- Mittelwertsatz und Folgerungen
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St
5.1 Differential und Differentiationsregeln
5.2 Der Mittelwertsatz und Folgerungen
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Serie 9 |
Serie 9 |
| 14. November |
- Anwendungen des Mittelwertsatzes:
- gewöhnliche Differentialgleichung mit Anfangsbedingung hat eindeutige Lösung
- Regel von Bernoulli-de l’Hospital, unbestimmter Grenzwert der Form 0/0
- Umkehrsatz
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St
5.2 Der Mittelwertsatz und Folgerungen
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Woche 10
20. November |
- Umkehrsatz: Anwendung auf allgemeine Potenzfunktion
- trigonometrische Funktionen:
- Ableitungen davon
- Umkehrfunktionen = Arkusfunktionen
- Ableitungen der Arkusfunktionen
- Hyperbelfunktionen:
- hyperbolischer Pythagoras
- Additionstheoreme
- Ableitungen
- Umkehrfunktionen = Areafunktionen
- Ableitungen der Areafunktionen
- höhere Differenzierbarkeit, höhere Ableitungen
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St
5.2 Der Mittelwertsatz und Folgerungen
5.3 Die trigonometrischen Funktionen
5.4 Funktionen der Klasse C^1
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Serie 10
Schnellübung 5
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Serie 10
Schnellübung 5
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| 21. November |
- höhere Differenzierbarkeit, höhere Ableitungen
- Kriterium für stetige Differenzierbarkeit eines Limes
- Anwendung: durch Potenzreihe definierte Funktion ist gliedweise differenzierbar
- 5.5 Taylornäherung von Funktionen:
- Taylorpolynom
- Restglied
- Taylorreihe
- gleichmässige Konvergenz der Taylorreihe gegen Limes einer Potenzreihe
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St
5.4 Funktionen der Klasse C^1
5.5 Taylor-Formel
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Woche 11
27. November |
- gleichmässige Konvergenz der Taylorreihe gegen Limes einer Potenzreihe
- Satz von Taylor, Restglied in Lagrangeform
- Anwendung: Taylornäherung, Abschätzung für das Restglied
- Lokale Extrema, kritische Punkte
- Integration:
- Intuition: Integral = Fläche unter dem Graphen der Funktion
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St
5.5 Taylor-Formel
6 Integration
6.2 Das Riemannsche Integral
6.3 Integrationsregeln, Hauptsatz
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Serie 11 |
Serie 11 |
| 28. November |
- Treppenfunktion
- eigentliche Riemann-Integrierbarkeit, eigentliches Riemann-Integral
- Eigenschaften der Riemann-Integration, insbesondere: Linearität
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St
6.2 Das Riemannsche Integral
6.3 Integrationsregeln, Hauptsatz
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Woche 12
4. Dezember |
- Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- Stammfunktion
- Ableiten und Integration sind zueinander invers.
- unbestimmte Integration
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St
6.1 Stammfunktionen
6.2 Das Riemannsche Integral
6.3 Integrationsregeln, Hauptsatz
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Serie 12
Schnellübung 6
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Serie 12
Schnellübung 6
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| 5. Dezember |
- Eigenschaften der unbestimmten Integration
- Linearität
- Umkehrung der durch Ableiten induzierten Funktion
- partielle Integration
- Beispiel: bestimmtes Integral einer geraden Potenz des Kosinus
- Anwendung: Wallissches Produkt, Formel für pi
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St
6.1 Stammfunktionen
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Woche 13
11. Dezember |
- Wallissches Produkt, Formel für pi
- Substitutionsregel für bestimmte Integration
- Anwendung davon:
gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung, Separation der Variablen
- Integral einer rationalen Funktion, Partialbruchzerlegung
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St
6.1 Stammfunktionen
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Serie 13
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Serie 13 |
| 12. Dezember |
- Integral einer rationalen Funktion, Partialbruchzerlegung
- Integral eines gleichmässigen Limes
- Anwendung: Durch Potenzreihe definierte Funktion ist gliedweise integrierbar.
- Beispiel: Potenzreihe für Logarithmus
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St
6.1 Stammfunktionen
6.3 Integrationsregeln, Hauptsatz
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Woche 14
18. Dezember |
- Anwendung der Potenzreihe für Logarithmus: Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe
- Konvergenz und Grenzwert einer Funktion bei unendlich
- uneigentliches Riemann-Integral
- Beispiel: Gammafunktion = Verallgemeinerung der Fakultätsfunktion auf reelle Zahlen
- Anwendung des uneigentlichen Integrals: Arbeit des elektrischen Feldes
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St
6.3 Integrationsregeln, Hauptsatz
6.4 Uneigentliches Riemann-Integral
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Serie 14
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Serie 14 |
| 19. Dezember |
- gewöhnliche Differentialgleichungen
- Beispiel: freier gedämpfter Federschwinger
- Beispiel: elektrischer Schwingkreis
- Linearität und Homogenität einer GDG
- Superpositionsprinzip
- Lösungsraum einer homogenen linearen GDG
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St
5.6 Gewöhnliche Differentialgleichungen
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