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- Ausblick auf die Vorlesung, Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik
- Definition einer partiellen Differentialgleichung
- Beispiele:
- Transportgleichung
- Laplacegleichung
- Wellengleichung
- Wärmeleitungsgleichung
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F Chapter 1
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- Linearität einer PDG, Superpositionsprinzip
- Typen linearer PDG zweiter Ordnung:
- elliptisch
- hyperbolisch
- parabolisch
- Anfangs- und Randbedingungen
- Trennung der Variablen
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F Lessons 1;
3, 19, 32;
5, 7, 20
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- Trennung der Variablen
- Anwendung auf Wärmeleitungsgleichung
- Wellengleichung für Druck- und Schallwellen
- allgemeine Lösung der räumlich 1-dimensionalen Wellengleichung
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F Lessons 5, 7, 20
DL Sections 4.1, 4.2, 2.1, 2.2
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- d’Alembertsche Formel für die Lösung der räumlich 1-dimensionalen Wellengleichung
- Abhängigkeitsgebiet und Einflussgebiet
- inhomogene lineare PDG, Prinzip von Duhamel
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DL Sections 2.2, 2.3, 2.4
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- Beweis des Prinzips von Duhamel
- heuristischer Grund für das Prinzip von Duhamel: Superposition
- Fouriertheorie für periodische Funktionen:
- Fourierkoeffizienten
- Fourierreihe
- punktweise Fourierreihenentwicklung
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F Lesson 11
DL 3.1-3.4
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- Grundlage der Fourierreihenentwicklung, Orthonormalbasis der imaginären Exponentialfunktionen
- Lösung der Wärmeleitungsgleichung (WLG) mittels Fourierreihe
- Eigenschaften der Lösung:
- Abfallen der Moden
- unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit
- Irreversibilität
- Interpretation der WLG als gewöhnliche DG
- Umformulierung der WLG als ein System gewöhnlicher DG für die Fourierkoeffizienten
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F Lessons 11, 12
DL 3.3, 3.4, 4.1, 4.2, 4.3
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- Fouriertransformation, Eigenschaften davon
- Fourier-Rücktransformation
- Existenz und Eindeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf R (ohne periodische Bedingung)
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F Lessons 11, 12
DL 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6
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- Fouriertransformierte der gestreckten Gaussfunktion, Heisenbergsche Unschärferelation
- Existenz und Eindeutigkeit der Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf R (ohne periodische Bedingung)
- Beweis davon mittels Ableiten unter dem Integral und mittels Fouriertransformation
- Faltung von Funktionen
- Laplacegleichung
- Laplacegleichung auf der Kreisscheibe, Poissonformel
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DL 5.4,5.5,5.6
F Lessons 31, 32, 33
DL 6.1, 6.2, 6.3
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- Laplacegleichung auf der Kreisscheibe, Poissonformel
- heuristische ``Herleitung'' der Poissonformel mit Hilfe von Polarkoordinaten, Trennung der Variablen und Fouriertheorie
- Mittelwertprinzip für harmonische Funktionen
- Maximum- und Minimumprinzip für harmonische Funktionen
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DL 6.2, 6.3
F Lessons 31, 32, 33, 35
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- Loesung des Dirichletproblems fuer die Laplacegleichung auf der Kreisscheibe mittels Fourierreihe
- Beweis des Mittelwertprinzips fuer harmonische Funktionen
- Loesung des Randwertproblems fuer die Laplacegleichung auf einem Halbraum und auf einem Ball
- Fundamentallösung der Laplacegleichung
- Lösung der Poissongleichung auf R^n
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Evans 2.2 Laplace's equation
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- Lösung der Poissongleichung auf R^n: Beweis
- zweite greensche Identität
- greensche Funktion
- Darstellung der Lösung des Randwertproblems für die Poissongleichung mittels greenscher Funktion
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Evans 2.2 Laplace's equation
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- Beweis des Satzes über die Darstellung der Lösung des Randwertproblems für die Poissongleichung mittels greenscher Funktion
- ``Herleitung'' der Lösungsformeln für das Randwertproblem für die Laplacegleichung auf dem oberen Halbraum und dem Einheitsball mittels greenscher Funktion
- Anwendung der greenschen Funktion in der Elektrostatik, Spiegelladung
- Beweis der Eindeutigkeit der Lösung des Randwertproblems für die Laplacegleichung mittels des Divergenzsatzes von Gauss
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Evans 2.2 Laplace's equation
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- Minimalstellen des Energie-Funktionals, Dirichletprinzip
- Bedeutung in der Elektrostatik
- Variationsrechnung, Prinzip der stationären Wirkung
- Euler-Lagrange-Gleichung
- Beispiele:
- Poissongleichung
- Teilchen auf einer Geraden
- elektrischer Schwingkreis
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Evans
2.2.5. Energy methods
8 The calculus of variations
8.1. Introduction
8.1.1. Basic ideas
8.1.2. First variation, Euler-Lagrange equation
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- Euler-Lagrange-Gleichung: Beispiele:
- elektrischer Schwingkreis
- Elektromagnetismus, Maxwellgleichungen
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Evans
8 The calculus of variations
8.1. Introduction
8.1.1. Basic ideas
8.1.2. First variation, Euler-Lagrange equation
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